伽马分布与贝塔分布

2023-05-16

伽马函数 $\Gamma \left ( \alpha \right )$

称 $\Gamma \left ( \alpha \right ) =\int_{0}^{+\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\mathrm{d}x$ 为伽马函数，其中参数 $\alpha > 0$ ，伽马函数具有如下性质：

$\Gamma \left ( 1 \right )=1$
$\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )=\sqrt{\pi }$
$\Gamma \left ( \alpha +1 \right )=\alpha \Gamma \left ( \alpha \right )$
$\Gamma \left ( n+1 \right )=n \Gamma \left ( n \right )=n! \: ;$ ,n为自然数；或写作 $\Gamma \left ( n \right )=\left ( n-1 \right )!$

余元公式：对于 $x\in \left ( 0,1 \right )$ ,有 $\Gamma \left ( 1-x \right ) \Gamma \left ( x \right )=\frac{\pi }{sin\, \pi x}$

与贝塔函数 $B\left ( m,n \right )$ 的关系 : $B\left ( m,n \right ) =\frac{\Gamma \left ( m \right )\Gamma \left ( n \right )}{\Gamma \left ( m+n \right )}$
对于 $x> 0$ ;伽马函数是严格凹函数。
x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值: $\Gamma \left ( x\right )\sim \sqrt{2\pi }e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}}$

伽马分布 $Ga\left ( \alpha ,\lambda \right )$

背景：

若一个元器件能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击即告失效，则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布 $Ga\left ( k,\lambda \right )$ .

密度函数:

$\alpha> 0$ 为形状参数 ， $\lambda > 0$ 为尺度参数 ；

密度函数图如下所示，

数学期望与方差

$E(X)=\frac{\alpha }{\lambda}; Var(X)=\frac{\alpha }{\lambda^{2}}$

与指数分布 $Exp\left ( \lambda \right )$ 的关系

若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即，

若 $X\sim Ga\left ( k,\lambda \right )$ ,则 $X= X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k}$ ,其中 $X_{i}\sim Exp\left ( \lambda \right ),\: i=1,2,...,k$ 【独立同分布】

卡方分布 $\chi ^{2}\left ( n \right )$

与伽马分布的关系

称 $\alpha =\frac{n}{2};\: \lambda =\frac{1}{2}$ 的伽马分布为自由度为n的卡方分布，即 $Ga\left ( \frac{n}{2} ,\frac{1}{2}\right )=\chi ^{2}(n)$

密度函数

期望与方差

$E\left ( X \right )=n;\: Var\left ( X \right )=2n$

注：后期再讲数理统计中的t分布与F分布时，再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布：卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布

贝塔分布 $Be\left ( \alpha,\beta \right )$

背景

很多比率，比如，产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率....都是在区间（0，1）上取值的随机变量，可用beta分布来描述这些随机变量

贝塔函数 $B\left ( a,b \right )$

称 $B\left ( a,b \right ) =\int_{0}^{1}x^{a-1}\left ( 1-x \right )^{b-1}\mathrm{d}x$ 为贝塔函数，其中参数 $a> 0,\: b> 0$ 。贝塔函数的性质：

$B\left ( a,b \right )=B\left ( b,a \right )$
$B\left ( a,b \right ) =\frac{\Gamma \left ( a \right )\Gamma \left ( b \right )}{\Gamma \left ( a+b \right )}$

密度函数

当 $0< x< 1$ 时，为f(x);否则为0.

其中 $\alpha > 0 ,\: \beta > 0$ 都是形状参数。【下图中 a就是 $\alpha$ ，b就是 $\beta$ 】

贝塔分布是定义在（0，1）区间上的连续概率分布，是伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布。

数学期望与方差

$E\left ( X \right )=\frac{a}{a+b};\: Var\left ( X \right )=\frac{ab}{\left ( a+b \right )^{2}\left ( a+b+1 \right )}$

与均匀分布的关系

当 $a=b=1$ 时的贝塔分布就是区间（0，1）上的均匀分布，即 $Be\left ( 1,1 \right )=U\left ( 0,1 \right )$ .

参考 Gamma/伽马函数，伽马分布 ; 伽玛函数

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