了解嵌套循环将运行多少次

我试图了解下面的代码中语句“x = x + 1”作为“n”的函数执行了多少次：

for (i=1; i<=n; i++)
  for (j=1; j<=i; j++)
    for (k=1; k<=j; k++)
       x = x + 1 ;

如果我没记错的话，第一个循环就会被执行n次，还有第二次n(n+1)/2次，但在第三次循环时我迷路了。也就是说，我可以数一下它会被执行多少次，但我似乎无法找到公式或用数学术语解释它。

Can you?

顺便说一句，这不是家庭作业或任何东西。我刚刚在一本书上发现并认为这是一个值得探索的有趣概念。

考虑循环for (i=1; i <= n; i++)。看到这个循环很简单n次。我们可以将其绘制为：

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现在，当您有两个这样的嵌套循环时，您的内部循环将循环n(n+1)/2次。注意它是如何形成一个三角形的，事实上，这种形式的数字被称为三角数 http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number.

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因此，如果我们将其扩展到另一个维度，它将形成一个四面体。由于我无法在此处进行 3D，请想象一下它们中的每一个都层叠在一起。

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这些被称为四面体数 http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number，由以下公式产生：

n(n+1)(n+2)
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     6

您应该能够通过一个小测试程序来确认情况确实如此。

如果我们注意到6 = 3!，不难看出这种模式如何推广到更高的维度 http://en.wikipedia.org/wiki/Figurate_number#Triangular_numbers:

n(n+1)(n+2)...(n+r-1)
---------------------
         r!

Here, r是嵌套循环的数量。