嵌套循环结果

我真的不知道如何找出嵌套循环的结果。 例如，在下面的伪代码中，我无法弄清楚执行结束时会给出什么。如果有人给我一个简单的解决方案，我会很高兴。

r <- 0
for i <- 1 to n do 
  for j <- 1 to i do
    for k <- j to i+j do
      r <- r + 1
return r

问题是：

代码的结果是什么并给出结果r按照n?

我写它，但每次我都感到困惑。

在你的伪代码中，最内循环，k <- j to i+j可以写成k <- 0 to i (这是通过删除j）。因此，您的代码可以简化如下：

r <- 0
for i <- 1 to n do 
    for j <- 1 to i do
      for k <- 0 to i do   // notice here `j` removed
        r <- r + 1
return r

基于这个伪代码，我编写了一个 C 程序（如下）来生成 N = 1 到 10 的序列。（您最初将问题标记为java /questions/tagged/java但我正在写c /questions/tagged/c代码，因为你想要的东西与语言限制无关）

#include<stdio.h>
int main(){
  int i =0, k =0, j =0, n =0;
  int N =0; 
  int r =0;
  N =10;
  for (n=1; n <= N; n++){
  // unindented code here
  r =0;
  for (i=1; i<=n; i++)
      for (j=1; j<=i; j++)
          for (k=0; k<=i; k++)
              r++;    
  printf("\n N=%d  result = %d",n, r); 
  }
  printf("\n");
}

该程序的输出类似于：

 $ ./a.out     
 N=1  result = 2
 N=2  result = 8
 N=3  result = 20
 N=4  result = 40
 N=5  result = 70
 N=6  result = 112
 N=7  result = 168
 N=8  result = 240
 N=9  result = 330
 N=10  result = 440

然后，尝试探索，它是如何工作的？一些图表：

执行树N=1:

1<=i<=1,              (i=1)
                        |
1<=j<=i,              (j=1)
                      /   \
0<=k<=i,          (K=0)    (K=1)
                   |        |  
r=0                r++      r++    => r = 2
                 ( 1   +    1 )

那是(1*2) = 2

树为N=2:

1<=i<=2,         (i=1)-----------------------(i=2)
                  |                 |---------|------|
1<=j<=i,        (j=1)           (j=1)              (j=2)
                /   \          /  |  \            /  |  \
0<=k<=i,    (K=0)    (K=1)  (K=0)(K=1)(k=2)    (K=0)(K=1)(k=2)
              |        |      |     |    |       |     |    |
r=0          r++      r++   r++   r++  r++     r++   r++  r++    => 8
            --------------  ---------------------------------
            ( 1   +    1)   (     3         +      3        )

That is (1 + 1) + (3 + 3) = 8

同样，我画了一棵树N=3:

1<=i<=3,        (i=1)-----------------------(i=2)--------------------------------------------(i=3)
                  |                 |---------|------|                  |----------------------|----------------------|
1<=j<=3,        (j=1)             (j=1)            (j=2)            (   j=1   )           (   j=2    )           (   j=3    )
                /   \            /  |  \          /  |  \          / |       |  \        / |       |  \          / |       | \
0<=k<=i,    (K=0)   (K=1)    (K=0)(K=1)(k=2)   (K=0)(K=1)(k=2)    /  |       |   \      /  |       |   \        /  |       |  \
              |       |        |    |    |       |    |    |     (K=0)(K=1)(k=2)(k=3)  (K=0)(K=1)(k=2)(k=3)  (K=0)(K=1)(k=2)(k=3)
r=0          r++     r++      r++  r++  r++     r++  r++  r++     r++  r++   r++  r++   r++  r++  r++  r++   r++  r++   r++   r++

That is (1 + 1) + (3 + 3) + (4 + 4+ 4)= 20

N = 1,   (1 + 1) = 2  
N = 2,   (1 + 1) + (3 + 3) = 8  
N = 3,   (1 + 1) + (3 + 3) + (4 + 4 + 4)= 20  
N = 4,   (1 + 1) + (3 + 3) + (4 + 4 + 4) + (5 + 5 + 5 + 5)  =  40  
N = 5,   (1 + 1) + (3 + 3) + (4 + 4 + 4) + (5 + 5 + 5 + 5) + (6 + 6 + 6 + 6 + 6) = 70  
N = 6,   (1 + 1) + (3 + 3) + (4 + 4 + 4) + (5 + 5 + 5 + 5) + (6 + 6 + 6 + 6 + 6) + (7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7)= 112  

对于 N=6，我们也可以将上面的序列写为：

(1*2) + (2*3) + (3*4) + (4*5) + (5*6) + (6*7)    

终于，我能理解这个总和了N三循环中是：

(1*2) + (2*3) + (3*4) + (4*5) + (5*6) + ... + (N * (N+1))

在 math.stackexchange.com 的帮助下，我可以简化这个方程：
我在这里问：如何用N来简化求和方程？ https://math.stackexchange.com/questions/416322/how-to-simplify-summation-equation-in-terms-of-n

正如我对你的问题的评论，N 项的结果是( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 3 ).
而且，我认为这是正确的。我交叉检查如下：

N = 1,    (1 * 2 * 3)/3  = 2

N = 2,    (2 * 3 * 4)/3 =  8

N = 3,    (3 * 4 * 5)/3 =  20

N = 4,    (4 * 5 * 6)/3 =  40

N = 5,    (5 * 6 * 7)/3 =  70