正确使用术语 Monoid

从下面的例子来看，我认为这样的说法是正确的String在串联运算下定义了一个幺半群，因为它是关联二元运算，并且String碰巧有一个身份元素，它是一个空字符串"".

scala> ("" + "Jane") + "Doe" ==  "" + ("Jane" + "Doe")
res0: Boolean = true

从我最近阅读的有关该主题的各种文本来看，似乎该术语的正确使用monoid是幺半群实际上是两种类型的组合（在本例中String) 以及定义操作和单位元素的某种幺半群类型的实例。

例如，这是一个理论上的Monoid类型及其具体实例似乎在各种书籍/文章中普遍定义：-

trait Monoid[A] { 
  def op(a1: A, a2: A): A 
  def zero: A 
} 

val stringMonoid = new Monoid[String] { 
  def op(a1: String, a2: String) = a1 + a2 
  val zero = "" 
}

我知道我们不需要trait Monoid[A] nor stringMonoid在核心（Scala，或更确切地说 Java）库中定义以支持我的 REPL 输出，并且该示例只是理解幺半群抽象概念的工具。

我的问题（我很可能想得太多）是纯粹的定义。我知道底层java.lang.String（更确切地说StringBuilder）已经定义了关联操作，但我不认为有单位元素的显式定义（在本例中只是一个空字符串"") 在任何地方定义。

问题：-

Is String隐式连接操作下的幺半群，只是因为我们碰巧知道使用空字符串""提供身份？或者，对于将类型归类为幺半群（在特定的关联二元运算下）来说，类型的单位元素的显式定义是不必要的。

你可能有点想太多了。 Amonoid是一个存在于编程和类型系统之外的抽象概念（范畴论）。考虑定义：

幺半群是在关联二元运算下闭合的集合，并且具有单位元素。

您已经确定了String类型为封闭型 使用关联二元运算（串联）和单位元素（空字符串）进行设置。该语言可能不会明确告诉您单位元素是什么，但这并不意味着它不存在（我们知道它存在）。这String具有连接二元运算的类型肯定是monoid因为你可以证明它满足上述所有属性。

创建一个Monoid类型类只是为了方便我们处理使用幺半群操作的通用数据结构。无论编程语言（或其他库）是否明确说明什么集合与什么二元运算以及什么恒等式构造幺半群，幺半群仍然可以存在。

重要的是要注意String类型本身并不构成幺半群，因为它必须与所述二元运算等一起存在。可能存在使用相同集合但不同二元运算的另一个幺半群。