如何通过点积获得峰值 CPU 性能？

Problem

我一直在研究 HPC，特别是使用矩阵乘法作为我的项目（请参阅我的个人资料中的其他帖子）。我在这些方面取得了不错的成绩，但还不够好。我退后一步，看看我在点积计算方面能做得如何。

点积与矩阵乘法

点积更简单，并且允许我测试 HPC 概念，而无需处理打包和其他相关问题。缓存阻塞仍然是一个问题，这构成了我的第二个问题。

算法

乘n两个对应的元素double arrays A and B并对它们求和。 Adouble装配中的点积只是一系列movapd, mulpd, addpd。以巧妙的方式展开和排列，可以有成组的movapd/mulpd/addpd分别运行在不同的xmm寄存器，因此是独立的，优化了流水线。当然，事实证明这并不重要，因为我的 CPU 执行乱序。另请注意，重新排列需要剥离最后一次迭代。

其他假设

我不是在编写一般点积的代码。该代码适用于特定尺寸，我不处理边缘情况。这只是为了测试 HPC 概念并看看我可以达到什么类型的 CPU 使用率。

Results

编译为gcc -std=c99 -O2 -m32 -mincoming-stack-boundary=2 -msse3 -mfpmath=sse,387 -masm=intel。我使用的计算机与平常不同。这台计算机有一个i5 540m从而可以获得2.8 GHz * 4 FLOPS/cycle/core = 11.2 GFLOPS/s per core经过两步英特尔睿频加速（两个核心现在都处于开启状态，因此只能进行 2 步……如果我关闭一个核心，则可以进行 4 步加速）。当设置为使用一个线程运行时，32 位 LINPACK 的速度约为 9.5 GFLOPS/s。

       N   Total Gflops/s         Residual
     256         5.580521    1.421085e-014
     384         5.734344   -2.842171e-014
     512         5.791168    0.000000e+000
     640         5.821629    0.000000e+000
     768         5.814255    2.842171e-014
     896         5.807132    0.000000e+000
    1024         5.817208   -1.421085e-013
    1152         5.805388    0.000000e+000
    1280         5.830746   -5.684342e-014
    1408         5.881937   -5.684342e-014
    1536         5.872159   -1.705303e-013
    1664         5.881536    5.684342e-014
    1792         5.906261   -2.842171e-013
    1920         5.477966    2.273737e-013
    2048         5.620931    0.000000e+000
    2176         3.998713    1.136868e-013
    2304         3.370095   -3.410605e-013
    2432         3.371386   -3.410605e-013

问题1

我怎样才能做得比这更好？我什至还没有接近巅峰表现。我已经将汇编代码优化到了天堂。进一步展开可能会稍微提升一点，但较少展开似乎会降低性能。

问题2

When n > 2048，您可以看到性能下降。这是因为我的L1缓存是32KB，当n = 2048 and A and B are double，它们占用整个缓存。如果更大，它们就会从内存中流式传输。

我尝试了缓存阻塞（源代码中未显示），但也许我做错了。任何人都可以提供一些代码或解释如何阻止缓存的点积吗？

源代码

    #include <stdio.h>
    #include <time.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <string.h>
    #include <x86intrin.h>
    #include <math.h>
    #include <omp.h>
    #include <stdint.h>
    #include <windows.h>

    // computes 8 dot products
#define KERNEL(address) \
            "movapd     xmm4, XMMWORD PTR [eax+"#address"]      \n\t" \
            "mulpd      xmm7, XMMWORD PTR [edx+48+"#address"]   \n\t" \
            "addpd      xmm2, xmm6                              \n\t" \
            "movapd     xmm5, XMMWORD PTR [eax+16+"#address"]   \n\t" \
            "mulpd      xmm4, XMMWORD PTR [edx+"#address"]      \n\t" \
            "addpd      xmm3, xmm7                              \n\t" \
            "movapd     xmm6, XMMWORD PTR [eax+96+"#address"]   \n\t" \
            "mulpd      xmm5, XMMWORD PTR [edx+16+"#address"]   \n\t" \
            "addpd      xmm0, xmm4                              \n\t" \
            "movapd     xmm7, XMMWORD PTR [eax+112+"#address"]  \n\t" \
            "mulpd      xmm6, XMMWORD PTR [edx+96+"#address"]   \n\t" \
            "addpd      xmm1, xmm5                              \n\t"

#define PEELED(address) \
            "movapd     xmm4, XMMWORD PTR [eax+"#address"]      \n\t" \
            "mulpd      xmm7, [edx+48+"#address"]               \n\t" \
            "addpd      xmm2, xmm6                  \n\t" \
            "movapd     xmm5, XMMWORD PTR [eax+16+"#address"]   \n\t" \
            "mulpd      xmm4, XMMWORD PTR [edx+"#address"]      \n\t" \
            "addpd      xmm3, xmm7                  \n\t" \
            "mulpd      xmm5, XMMWORD PTR [edx+16+"#address"]   \n\t" \
            "addpd      xmm0, xmm4                  \n\t" \
            "addpd      xmm1, xmm5                  \n\t"

inline double 
__attribute__ ((gnu_inline))        
__attribute__ ((aligned(64))) ddot_ref(
    int n,
    const double* restrict A,
    const double* restrict B)
{
    double sum0 = 0.0;
    double sum1 = 0.0;
    double sum2 = 0.0;
    double sum3 = 0.0;
    double sum;
    for(int i = 0; i < n; i+=4) {
        sum0 += *(A + i  ) * *(B + i  );
        sum1 += *(A + i+1) * *(B + i+1);
        sum2 += *(A + i+2) * *(B + i+2);
        sum3 += *(A + i+3) * *(B + i+3);
    }
    sum = sum0+sum1+sum2+sum3;
    return(sum);
}

inline double 
__attribute__ ((gnu_inline))        
__attribute__ ((aligned(64))) ddot_asm
(   int n,
    const double* restrict A,
    const double* restrict B)
{

        double sum;

            __asm__ __volatile__
        (
            "mov        eax, %[A]                   \n\t"
            "mov        edx, %[B]                   \n\t"
            "mov        ecx, %[n]                   \n\t"
            "pxor       xmm0, xmm0                  \n\t"
            "pxor       xmm1, xmm1                  \n\t"
            "pxor       xmm2, xmm2                  \n\t"
            "pxor       xmm3, xmm3                  \n\t"
            "movapd     xmm6, XMMWORD PTR [eax+32]  \n\t"
            "movapd     xmm7, XMMWORD PTR [eax+48]  \n\t"
            "mulpd      xmm6, XMMWORD PTR [edx+32]  \n\t"
            "sar        ecx, 7                      \n\t"
            "sub        ecx, 1                      \n\t" // peel
            "L%=:                                   \n\t"
            KERNEL(64   *   0)
            KERNEL(64   *   1)
            KERNEL(64   *   2)
            KERNEL(64   *   3)
            KERNEL(64   *   4)
            KERNEL(64   *   5)
            KERNEL(64   *   6)
            KERNEL(64   *   7)
            KERNEL(64   *   8)
            KERNEL(64   *   9)
            KERNEL(64   *   10)
            KERNEL(64   *   11)
            KERNEL(64   *   12)
            KERNEL(64   *   13)
            KERNEL(64   *   14)
            KERNEL(64   *   15)
            "lea        eax, [eax+1024]             \n\t"
            "lea        edx, [edx+1024]             \n\t"
            "                                       \n\t"
            "dec        ecx                         \n\t"
            "jnz        L%=                         \n\t" // end loop
            "                                       \n\t"
            KERNEL(64   *   0)
            KERNEL(64   *   1)
            KERNEL(64   *   2)
            KERNEL(64   *   3)
            KERNEL(64   *   4)
            KERNEL(64   *   5)
            KERNEL(64   *   6)
            KERNEL(64   *   7)
            KERNEL(64   *   8)
            KERNEL(64   *   9)
            KERNEL(64   *   10)
            KERNEL(64   *   11)
            KERNEL(64   *   12)
            KERNEL(64   *   13)
            KERNEL(64   *   14)
            PEELED(64   *   15)
            "                                       \n\t"
            "addpd      xmm0, xmm1                  \n\t" // summing result
            "addpd      xmm2, xmm3                  \n\t"
            "addpd      xmm0, xmm2                  \n\t" // cascading add
            "movapd     xmm1, xmm0                  \n\t" // copy xmm0
            "shufpd     xmm1, xmm0, 0x03            \n\t" // shuffle
            "addsd      xmm0, xmm1                  \n\t" // add low qword
            "movsd      %[sum], xmm0                \n\t" // mov low qw to sum
            : // outputs
            [sum]   "=m"    (sum)
            : // inputs
            [A] "m" (A),
            [B] "m" (B), 
            [n] "m" (n)
            : //register clobber
            "memory",
            "eax","ecx","edx","edi",
            "xmm0","xmm1","xmm2","xmm3","xmm4","xmm5","xmm6","xmm7"
            );
        return(sum);
}

int main()
{
    // timers
    LARGE_INTEGER frequency, time1, time2;
    double time3;
    QueryPerformanceFrequency(&frequency);
    // clock_t time1, time2;
    double gflops;

    int nmax = 4096;
    int trials = 1e7;
    double sum, residual;
    FILE *f = fopen("soddot.txt","w+");

    printf("%16s %16s %16s\n","N","Total Gflops/s","Residual");
    fprintf(f,"%16s %16s %16s\n","N","Total Gflops/s","Residual");

    for(int n = 256; n <= nmax; n += 128 ) {
        double* A = NULL;
        double* B = NULL;
        A = _mm_malloc(n*sizeof(*A), 64); if (!A) {printf("A failed\n"); return(1);}
        B = _mm_malloc(n*sizeof(*B), 64); if (!B) {printf("B failed\n"); return(1);}

        srand(time(NULL));

        // create arrays
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            *(A + i) = (double) rand()/RAND_MAX;
            *(B + i) = (double) rand()/RAND_MAX;
        }

        // warmup
        sum = ddot_asm(n,A,B);

        QueryPerformanceCounter(&time1);
        // time1 = clock();
        for (int count = 0; count < trials; count++){
            // sum = ddot_ref(n,A,B);
            sum = ddot_asm(n,A,B);
        }
        QueryPerformanceCounter(&time2);
        time3 = (double)(time2.QuadPart - time1.QuadPart) / frequency.QuadPart;
        // time3 = (double) (clock() - time1)/CLOCKS_PER_SEC;
        gflops = (double) (2.0*n*trials)/time3/1.0e9;
        residual = ddot_ref(n,A,B) - sum;
        printf("%16d %16f %16e\n",n,gflops,residual);
        fprintf(f,"%16d %16f %16e\n",n,gflops,residual);

        _mm_free(A);
        _mm_free(B);
    }
    fclose(f);
    return(0); // successful completion
}

编辑：装配说明

点积只是两个数字的乘积的重复和：sum += a[i]*b[i]. sum必须初始化为0在第一次迭代之前。矢量化后，您可以一次进行 2 次求和，并且必须在最后求和：[sum0 sum1] = [a[i] a[i+1]]*[b[i] b[i+1]], sum = sum0 + sum1。在（Intel）汇编中，这是 3 个步骤（初始化之后）：

pxor   xmm0, xmm0              // accumulator [sum0 sum1] = [0 0]
movapd xmm1, XMMWORD PTR [eax] // load [a[i] a[i+1]] into xmm1
mulpd  xmm1, XMMWORD PTR [edx] // xmm1 = xmm1 * [b[i] b[i+1]]
addpd  xmm0, xmm1              // xmm0 = xmm0 + xmm1

此时你没有什么特别的，编译器可以想出这个。通过将代码展开足够多次以使用所有内容，通常可以获得更好的性能xmm可供您使用的寄存器（32 位模式下有 8 个寄存器）。因此，如果您将其展开 4 次，就可以使用所有 8 个寄存器xmm0通过xmm7。您将有 4 个累加器和 4 个寄存器来存储结果movapd and addpd。同样，编译器可以提出这个。真正的思考部分是试图想出一种流水线代码的方法，即让 MOV/MUL/ADD 组中的每条指令在不同的寄存器上操作，以便所有 3 条指令同时执行（通常是这种情况）大多数CPU）。这就是你击败编译器的方法。因此，您必须对 4x 展开的代码进行模式化才能做到这一点，这可能需要提前加载向量并剥离第一次或最后一次迭代。这是什么KERNEL(address)是。为了方便起见，我制作了 4x 展开的流水线代码的宏。这样我只需更改即可轻松将其展开为 4 的倍数address. Each KERNEL计算 8 点积。

要回答您的总体问题，您无法使用点积实现峰值性能。

问题是您的 CPU 每个时钟周期可以执行一次 128 位负载，而要执行点积，您需要每个时钟周期执行两个 128 位负载。

但它比大 n 更糟糕。第二个问题的答案是，点积受内存限制，而不是计算限制，因此它无法对具有快速核心的大 n 进行并行化。这在这里有更好的解释为什么向量化循环没有提高性能 https://stackoverflow.com/questions/18159455/why-vectorizing-the-loop-does-not-have-performance-improvement/18159503#18159503。这是快速内核并行化的一个大问题。我花了一段时间才弄清楚这一点，但学习这一点非常重要。

实际上，很少有基本算法可以充分受益于快速内核上的并行化。就 BLAS 算法而言，只有 3 级算法 (O(n^3))（例如矩阵乘法）真正受益于并行化。在慢速核心上情况会更好，例如使用 GPU 和 Xeon Phi，因为内存速度和核心速度之间的差异要小得多。

如果您想找到一种可以在小 n 情况下接近峰值触发器的算法，请尝试例如标量 * 向量或标量 * 向量之和。第一种情况应在每个时钟周期进行一次加载、一次乘法和一次存储，而第二种情况应在每个时钟周期进行一次乘法、一次加法和一次加载。

我在 Core 2 Duo 上测试了以下代码[电子邮件受保护] /cdn-cgi/l/email-protection在 Knoppix 7.3 32 位中。我得到了大约 75% 的标量积峰值和 75% 的标量积之和峰值。标量积的触发器/周期为 2，标量积的总和为 4。

编译为g++ -msse2 -O3 -fopenmp foo.cpp -ffast-math

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <omp.h>
#include <x86intrin.h>

void scalar_product(double * __restrict a, int n) {
    a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
    double k = 3.14159;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        a[i] = k*a[i]; 
    }
}

void scalar_product_SSE(double * __restrict a, int n) {
    a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
    __m128d k = _mm_set1_pd(3.14159);    
    for(int i=0; i<n; i+=8) {
        __m128d t1 = _mm_load_pd(&a[i+0]);
        _mm_store_pd(&a[i],_mm_mul_pd(k,t1));
        __m128d t2 = _mm_load_pd(&a[i+2]);
        _mm_store_pd(&a[i+2],_mm_mul_pd(k,t2));
        __m128d t3 = _mm_load_pd(&a[i+4]);
        _mm_store_pd(&a[i+4],_mm_mul_pd(k,t3));
        __m128d t4 = _mm_load_pd(&a[i+6]);
        _mm_store_pd(&a[i+6],_mm_mul_pd(k,t4));
    }
}

double scalar_sum(double * __restrict a, int n) {
    a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
    double sum = 0.0;    
    double k = 3.14159;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        sum += k*a[i]; 
    }
    return sum;
}

double scalar_sum_SSE(double * __restrict a, int n) {
    a = (double*)__builtin_assume_aligned (a, 64);
    __m128d sum1 = _mm_setzero_pd();
    __m128d sum2 = _mm_setzero_pd();
    __m128d sum3 = _mm_setzero_pd();
    __m128d sum4 = _mm_setzero_pd();
    __m128d k = _mm_set1_pd(3.14159);   
    for(int i=0; i<n; i+=8) {
        __m128d t1 = _mm_load_pd(&a[i+0]);
        sum1 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t1),sum1);
        __m128d t2 = _mm_load_pd(&a[i+2]);
        sum2 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t2),sum2);
        __m128d t3 = _mm_load_pd(&a[i+4]);
        sum3 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t3),sum3);
        __m128d t4 = _mm_load_pd(&a[i+6]);
        sum4 = _mm_add_pd(_mm_mul_pd(k,t4),sum4);      
    }
    double tmp[8];
    _mm_storeu_pd(&tmp[0],sum1);
    _mm_storeu_pd(&tmp[2],sum2);
    _mm_storeu_pd(&tmp[4],sum3);
    _mm_storeu_pd(&tmp[6],sum4);
    double sum = 0;
    for(int i=0; i<8; i++) sum+=tmp[i];
    return sum;
}

int main() {
    //_MM_SET_FLUSH_ZERO_MODE(_MM_FLUSH_ZERO_ON);
    //_mm_setcsr(_mm_getcsr() | 0x8040);
    double dtime, peak, flops, sum;
    int repeat = 1<<18;
    const int n = 2048;
    double *a = (double*)_mm_malloc(sizeof(double)*n,64);
    double *b = (double*)_mm_malloc(sizeof(double)*n,64);
    for(int i=0; i<n; i++) a[i] = 1.0*rand()/RAND_MAX;

    dtime = omp_get_wtime();
    for(int r=0; r<repeat; r++) {
        scalar_product_SSE(a,n);
    }
    dtime = omp_get_wtime() - dtime;
    peak = 2*2.67;
    flops = 1.0*n/dtime*1E-9*repeat;
    printf("time %f, %f, %f\n", dtime,flops, flops/peak);

    //for(int i=0; i<n; i++) a[i] = 1.0*rand()/RAND_MAX;
    //sum = 0.0;    
    dtime = omp_get_wtime();
    for(int r=0; r<repeat; r++) {
        scalar_sum_SSE(a,n);
    }
    dtime = omp_get_wtime() - dtime;
    peak = 2*2*2.67;
    flops = 2.0*n/dtime*1E-9*repeat;
    printf("time %f, %f, %f\n", dtime,flops, flops/peak);
    //printf("sum %f\n", sum);

}