转自 http://blog.csdn.net/qq_30159351/article/details/53408740
这是SLAM最传统的基础，是SLAM最原始的方法，虽然现在使用较少，但是还是有必要了解。
这是一个贝叶斯滤波器，估计线性高斯模型，是对线性模型和高斯分布的优化方法。
首先，回顾一下高斯分布：
高斯分布的一些性质：
如果原变量为高斯分布，则边缘化和条件概率仍然满足高斯分布。
边缘分布和条件分布的模型：
卡尔曼滤波器假设x（paths）, z（observations）都为线性高斯的：
主要参数：
A是在没有命令的情况下，由于环境因素造成的机器人的位置移动。
B是命令对机器人位置的改变
C是地图和observations的对应关系，即两者的联系，描述。
最后两个为噪声，是由于测量中的误差造成的。协方差分布为R, Q。
因为之前已经假设了x,z都是高斯分布的
运动模型：
观测模型：
由此就可以使用第三节的贝叶斯滤波器公式：
2，3是prediction过程，4-7是correction过程。
其实卡尔曼滤波就是在估计和测量中找到一个平衡。
K为卡尔曼增益，就是通过这个变量来调节估计和预测的平衡。
卡尔曼滤波是在假设高斯和线性动作和观测模型下进行的，但是现实中并不是这样的。
引入非线性模型：
在线性高斯模型中：
在非线性高斯模型中:
通过局部线性来解决非线性的问题。
它相当于对一个非线性函数做了切平面。
用图表示为：
由此运动模型和观测模型修改为：
上一节主要讲解了EKF的基本原理，这一次主要关注如何将EKF算法应用在SLAM上。
现在的问题就是解决下面这个概率分布的估计问题：
阴影部分为未知
这里我们需要确定均值和方差到底是什么？
假设在2D平面内，状态表示为下面这个式子：
所以有均值和方差为：
这么Map有n个landmark，所以是3+2n维的高斯分布
简写为：
机器人往前走一步，通过motion model可以估计机器人所在的位置，此时机器人位置的不确定性会增加（红色区域为机器人可能在的位置）。均值和方差绿色部分将需要更新。
例如之前提到的速度运动模型，可以有下面的预测
相对应3+2n的维度上有：
然后对于Gt有，因为移动还只是更新了位置，所以只需要更新均值的前三个变量x,y , 角度即可，方差更新左上角的3*3矩阵。
Gxt的推导：
- Measurement prediction and measurement
此时根据观测模型估计看到的landmark
然后根据传感器去观测真实的landmark
即：
**至此EKF的2，3步的prediction过程就完成了
总结一下：（速度运动模型的EKF的prediction过程分为下面这5步）**
计算h(x)和z之间的差距，即预测的和实际测量中的误差。
然后更新整个估计矩阵：
可以看出，如果你的landmark非常多的时候，更新是非常耗时的。
例如：
以激光为例，可以这样表示observations
uj为landmark的位置，ut为机器人的位置。
第一个变量是机器人位置和landmark的距离，
第二个变量是距离的平方，
第三个变量是landmark的表示。
然后我们就需要计算Jacobian矩阵：
low指只考虑一个landmark的情况：
所以有：
对应到高维，即只是更新了对应landmark的H
H和h求出来了，这样校正过程就完成了。
总结：（用激光的校正过程如下）
