我应该为范围最小查询使用什么使用 O(n) 存储和 O(log n) 查询时间的数据结构？

我被算法课的以下作业问题难住了：

Suppose that we are given a sequence of n values x₁, x₂ ... x_n, and seek to quickly answer repeated queries of the form: given i and j, find the smallest value in x_i... x_j

设计一个使用 O(n) 的数据结构 空间并在 O(log n) 中回答查询 时间。

首先，我不确定是否sequence指的是排序集或未排序集 - 但因为它没有说明否则我会假设sequence意思是未排序。

所以，我意识到，如果我们谈论的是 O(log N) 查找时间，这显然必须涉及二叉树。所以基本上，我想，你有一套S，然后将每个元素插入S成二叉树。问题是，这个问题基本上希望我想出一种方法来回答查询，在该方法中我得到了一系列索引unsorted设置 - 然后在 O(log N) 时间内确定该范围内的最低值。这怎么可能？即使集合中的每个数字都插入到树中，我能做的最好的事情就是在 O(log N) 时间内查找任何特定数字。这不允许我找到未排序的数字范围中的最低值S.

有什么建议么？

如果集合已排序，则不需要树。 [i,j] 范围内的最小元素的索引为 i。

因此，假设序列的元素按照索引的顺序存储在树的叶子上。您可以存储任何附加信息吗（ahem，也许是每个内部节点的某种最小值和最大值）以方便您的查询？

如果是这样，那么如果树是平衡的，并且如果您可以通过仅查看从根到 {i,j} 处的两个元素的两条路径来回答您的查询，那么您将实现 O(log N) 查找成本。由于具有 N 个叶子的平衡二叉树总共包含 (2N-1) 个节点，因此您还将满足 O(N) 存储限制。

更多细节：考虑计算 [i,j] 范围内的最小值。

在树的每个内部节点 A 处，保留其下方所有叶子的最小值。这可以在树首次构建时自下而上计算。

现在从叶 i 开始。沿着树向上走，将 i 处的值或已知位于 i 右侧和 j 左侧的任何值保留为候选最小值。停止 i 和 j 共同祖先下方的一个节点。

从叶 j 处重新开始。沿着树向上走，再次将 j 处的值或已知位于 j 左侧和 i 右侧的任何值保留为候选最小值。

[i,j] 的最小值就是您计算的两个值中的最小值。计算最大值是类似的。总存储需求是每个内部节点 2 个值加上每个内部节点两个指针加上每个叶子一个值，对于完整的树来说是 N + 4(N-1)。

你走过的路up从叶子 i 开始的树，与您要走的路径相同down如果您正在寻找叶子 i，则为树。

用于搜索的 C# 代码：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace RangeSearch
{
    public class RangeSearch
    {
        int[] tree;
        int N;

        int LeafLocation(int leafNumber) { return leafNumber + N - 1; }
        int LeafValue(int leafNumber) { return tree[ LeafLocation(leafNumber)]; }
        int LeftChild(int x) { return 2*x + 1; }
        int RightChild(int x) { return 2*x + 2; }
        int Parent(int x) { return (x-1)/2; }
        bool IsPowerOf2(int x) { while (x > 0) { if (x == 1) return true; if ((x & 1) == 1 ) return false; x = x >> 1; } return false; }
        bool IsAncestorOf( int x, int y ) { if( x>y ) return false;  return x==y || IsAncestorOf(LeftChild(x), y) || IsAncestorOf(RightChild(x),y); } // note: violating time bound for legibility, can fix by storing min/max descendant index at each node

        public RangeSearch(params int[] vals)
        {
            if (!IsPowerOf2(vals.Length))
                throw new ArgumentException("this implementation restricted to N being power of 2");
            N = vals.Length;
            tree = new int[2 * N - 1];
            // the right half of the array contains the leaves
            vals.CopyTo(tree, N - 1);
            // the left half of the array contains the interior nodes, each of which holds the minimum of all its children
            for (int i = N - 2; i >= 0; i--)
                tree[i] = Math.Min(tree[LeftChild(i)], tree[RightChild(i)]);           
        }

        public int FindMin(int a, int b)
        {
            if( a>b )
                throw new ArgumentException( "FindMin expects a range [a,b] with a<=b" );
            int x = Walk( a, true, b);
            int y = Walk( b, false, a);
            return Math.Min(x, y);
        }

        int Walk( int leafNumber, bool leftSide, int otherLeafNumber )
        {
            int minSoFar =  LeafValue(leafNumber);
            int leafLocation = LeafLocation(leafNumber);
            int otherLeafLocation = LeafLocation(otherLeafNumber);
            int parent = Parent(leafLocation);
            bool cameFromLeft = (leafLocation == LeftChild(parent));
            return Walk2(minSoFar, parent, cameFromLeft, leftSide, otherLeafLocation);
        }
        int Walk2(int minSoFar, int node, bool cameFromLeft, bool leftSide, int otherLeafLocation)
        {
            if (IsAncestorOf(node, otherLeafLocation))
                return minSoFar;
            if (leftSide)
                minSoFar = !cameFromLeft ? minSoFar : Math.Min(minSoFar, tree[RightChild(node)]);
            else
                minSoFar = cameFromLeft ? minSoFar : Math.Min(minSoFar, tree[LeftChild(node)]);
            return Walk2(minSoFar, Parent(node), node == LeftChild(Parent(node)), leftSide, otherLeafLocation);
        }
    }
}

用于测试它的 C# 代码：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace RangeSearch
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            RangeSearch rngA = new RangeSearch(9, 3, 7, 1);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(3 == rngA.FindMin(0, 2) );
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngA.FindMin(0, 3));
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngA.FindMin(1, 3));

            RangeSearch rngB = new RangeSearch(1, 7, 3, 9);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(3 == rngB.FindMin(1, 3));
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngB.FindMin(0, 3));
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngB.FindMin(0, 2));

            RangeSearch rngC = new RangeSearch(17, 21, 77, 70, 58, 79, 79, 89);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(21 == rngC.FindMin(1, 7));

            RangeSearch rngD = new RangeSearch(94, 78, 88, 72, 95, 97, 89, 83);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(72 == rngD.FindMin(1, 6));

            RangeSearch rngE = new RangeSearch(0, 66, 6, 43, 34, 34, 63, 49);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(34 == rngE.FindMin(3, 4));

            Random rnd = new Random();
            for (int i = 0; i < 1000000; i++)
            {
                int[] tmp = new int[64];
                for (int j = 0; j < tmp.Length; j++)
                    tmp[j] = rnd.Next(0, 100);
                int a = rnd.Next(0, tmp.Length);
                int b = rnd.Next(a, tmp.Length);
                RangeSearch rng = new RangeSearch(tmp);
                System.Diagnostics.Trace.Assert(Min(tmp, a, b) == rng.FindMin(a, b));
            }
        }

        static int Min(int[] ar, int a, int b)
        {
            int x = ar[a];
            for (int i = a + 1; i <= b; i++)
                x = Math.Min(x, ar[i]);
            return x;
        }

    }
}