Mathematica 中的“upvalue”是什么意思以及何时使用它们？

To me, g /: f[g[x_]] := h[x]只是详细地等价于f[g[x_]] := h[x]。你能举一个你必须使用的例子吗/:?

实际上，g /: f[g[x_]] := h[x]不等于f[g[x_]] := h[x]。后者将定义与f, while (/:) and (^=和它的, ^:=) 将定义与g。这是一个至关重要的区别，可以通过一个简单的例子来说明。假设您想要一组服从模 5 加法的变量，即 6 + 7 mod 5 = 3。所以，我们想要任何Head mod行为正确。最初，我们会认为

a_mod + b_mod := mod@Mod[a + b, 5]

会工作。但是，它会产生错误

SetDelayed::write : Tag Plus in a_mod + b_mod is Protected.

我们可以删除Unprotect Plus然后我们的定义就可以工作，但这可能会导致其他定义出现问题，并且Plus积累更多的定义，它会变慢。或者，我们可以将加法属性与mod对象本身通过TagSet

mod /: mod[a_] + mod[b_] := mod @ Mod[a + b, 5]

or UpSetDelayed

mod[a_] + mod[b_] ^:= mod @ Mod[a + b, 5]

设置一个从概念的角度来看更正确，因为mod是具有不同属性的那个。

有几个问题需要注意。首先，upvalue机制只能扫描一层深度，即Plus[a_mod, b_mod]很好，但是Exp[Plus[a_mod, b_mod]]会抛出错误。这可能需要您对中间类型发挥创意。其次，从编码角度UpSetDelayed更容易写，但有时会出现一些歧义Head是与之相关的上值。TagSet通过显式命名适当的来处理这个问题Head，一般来说，这是我更喜欢的UpSet.

Mathematica 的一些运算符没有任何与其相关的行为，因此它们不受保护。对于这些运算符，您可以根据需要定义函数。例如，我定义了

a_ \[CircleTimes] b_ := KroneckerProduct[a,b]
a_ \[CircleTimes] b_ \[CircleTimes] c__ := a \[CircleTimes] ( b \[CircleTimes] c )

and

a_ \[CirclePlus] b__ := BlockDiagonal[{a,b}]

为我经常使用的矩阵运算提供方便的速记符号。

我上面的例子有点做作，但是很多时候UpValues已经派上用场了。例如，我发现我需要一种符号形式来表示复数根，该符号形式在乘法和求幂下表现得适当。

Example：一个简单且有用的例子是标记Symbol作为真实的：

makeReal[a__Symbol] := (
     # /: Element[#, Reals] := True; 
     # /: Im[#] := 0; 
     # /: Re[#] := #;
     # /: Abs[#] := Sign[#] #;
     # /: Arg[#] := Piecewise[{{0, Sign[#] >= 0}, {Pi, Sign[#] < 0}}]
   ) & /@ List[a]

注意使用TagSet as Element[ a, Reals ] ^:= True会很含糊。该规则将附加到什么a or Reals？另外，如果我们想要一个正实数，我们可以设置Arg[#]:=0这使得Simplify按预期行事，例如Simplify[Sqrt[a^2]] == a.