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在之前的文章 「 二叉搜索树 」 中，对于 「 增 」「 删 」「 改 」「 查 」 的时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) ~ O ( n ) O(n) O(n)。原因是最坏情况下，二叉搜索树会退化成 「 线性表 」 。更加确切地说，树的高度决定了它插入、删除和查找的时间复杂度。
本文，我们就来聊一下一种高度始终能够接近 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 的 「 树形 」 的数据结构，它能够在 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间内，获得 关键字 最大（或者最小）的元素。并且能够在 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 的时间内执行插入和删除，一般用来做 优先队列 的实现。它就是：
「 二叉堆 」
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堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。实现有很多，例如：大顶堆，小顶堆，斐波那契堆，左偏堆，斜堆 等等。从子结点个数上可以分为二叉堆，N叉堆等等。本文将介绍的是 二叉堆。
二叉堆本质是一棵完全二叉树，所以每次元素的插入删除都能保证
O
(
l
o
g
2
n
)
O(log_2n)
O(log2n)。根据堆的偏序规则，分为 小顶堆 和 大顶堆。小顶堆，顾名思义，根结点的关键字最小；大顶堆则相反。如图所示，表示的是一个大顶堆。
以大顶堆为例，它总是满足下列性质：
1）空树是一个大顶堆；
2）大顶堆中某个结点的关键字 小于等于 其父结点的关键字；
3）大顶堆是一棵完全二叉树。有关完全二叉树的内容，可以参考：画解完全二叉树。
如下图所示，任意一个从叶子结点到根结点的路径总是一个单调不降的序列。
小顶堆只要把上文中的 小于等于 替换成 大于等于 即可。
还是以大顶堆为例，堆能够在 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间内，获得 关键字 最大的元素。并且能够在 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 的时间内执行插入和删除。一般用来做 优先队列 的实现。
学习堆的过程中，我们能够学到一种新的表示形式。就是：利用 数组 来表示 链式结构。怎么理解这句话呢？
由于堆本身是一棵完全二叉树，所以我们可以把每个结点，按照层序映射到一个顺序存储的数组中，然后利用每个结点在数组中的下标，来确定结点之间的关系。
如图所示，描述的是堆结点下标和结点之间的关系，结点上的数字代表的是 数组下标。从左往右按照层序进行连续递增。
根结点的编号，看作者的喜好。可以用 0 或者 1。本文的作者是 C语言 出身，所以更倾向于选择 0 作为根结点的编号（因为用 1 作为根结点编号的话，数组的第 0 个元素就浪费了）。
我们可以用一个宏定义来实现它的定义，如下：
#define root 0
那么，根结点的两个左右子树的编号，就分别为 1 和 2 了。以此类推，按照层序进行编号的话，1 的左右子树编号为 3 和 4；2 的左右子树编号为 5 和 6。
根据数学归纳法，对于编号为
i
i
i 的结点，它的左子树编号为
2
i
+
1
2i+1
2i+1，右子树编号为
2
i
+
2
2i+2
2i+2。用宏定义实现如下：
#define lson(idx) (2*idx+1)
#define rson(idx) (2*idx+2)
由于这里涉及到乘 2，所以我们还可以用左移位运算来优化乘法运算，如下：
#define lson(idx) (idx << 1|1)
#define rson(idx) ((idx + 1) << 1)
同样，父结点编号也可以通过数学归纳法得出，当结点编号为 i i i 时，它的父结点编号为 i − 1 2 \frac {i-1} {2} 2i−1，利用C语言实现如下：
#define parent(idx) ((idx - 1) / 2)
这里涉及到除 2，可以利用右移运算符进行优化，如下：
#define parent(idx) ((idx - 1) >> 1)
这里利用补码的性质，根结点的父结点得到的值为 -1；
堆数据元素的数据域可以定义两个：关键字 和 值，其中关键字一般是整数，方便进行比较确定大小关系；值则是用于展示用，可以是任意类型，可以用typedef struct进行定义如下：
typedef struct {
int key; // (1)
void *any; // (2)
}DataType;
由于堆本质上是一棵完全二叉树，所以将它一一映射到数组后，一定是连续的。我们可以用一个数组来代表一个堆，在C语言中的数组拥有一个固定长度，可以用一个Heap结构体表示如下：
typedef struct {
DataType *data; // (1)
int size; // (2)
int capacity; // (3)
}Heap;
两个堆元素的比较可以采用一个比较函数compareData来完成，比较过程就是对关键字key进行比较的过程，以大顶堆为例：
a. 大于返回 -1，代表需要执行交换；
b. 小于返回 1，代表需要执行交换；
c. 等于返回 0，代表需要执行交换；
int compareData(const DataType* a, const DataType* b) {
if(a->key > b->key) {
return -1;
}else if(a->key < b->key) {
return 1;
}
return 0;
}
交换两个元素的位置，也是堆这种数据结构中很常见的操作，C语言实现也比较简单，如下：
void swap(DataType* a, DataType* b) {
DataType tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
更加详细的内容，可以参考：《算法零基础100讲》(第16讲) 变量交换算法 这篇文章。
空判定是一个查询接口，即询问堆是否是空的，实现如下：
bool HeapIsEmpty(Heap *heap) {
return heap->size == 0;
}
满判定是一个查询接口，即询问堆是否是满的，实现如下：
bool heapIsFull(Heap *heap) {
return heap->size == heap->capacity;
}
对于大顶堆而言，从它叶子结点到根结点的元素关键字一定是单调不降的，如果某个元素出现了比它的父结点大的情况，就需要进行上浮操作。
上浮操作就是对 当前结点 和 父结点 进行比较，如果它的关键字比父结点大（compareData返回-1的情况），将它和父结点进行交换，继续上浮操作；否则，终止上浮操作。
如图所示，代表的是一个关键字为 95 的结点，通过不断上浮，到达根结点的过程。上浮完毕以后，它还是一个大顶堆。
上浮过程的 C语言 实现如下：
void heapShiftUp(Heap* heap, int curr) { // (1)
int par = parent(curr); // (2)
while(par >= root) { // (3)
if( compareData( &heap->data[curr], &heap->data[par] ) < 0 ) {
swap(&heap->data[curr], &heap->data[par]); // (4)
curr = par;
par = parent(curr);
}else {
break; // (5)
}
}
}
heapShiftUp这个接口是一个内部接口，所以用小写驼峰区分，用于实现对堆中元素进行插入的时候的上浮操作；curr表示需要进行上浮操作的结点在堆中的编号，par表示curr的父结点编号； 对于大顶堆而言，从它 根结点 到 叶子结点 的元素关键字一定是单调不增的，如果某个元素出现了比它的某个子结点小的情况，就需要进行下沉操作。
下沉操作就是对 当前结点 和 关键字相对较小的子结点 进行比较，如果它的关键字比子结点小，将它和这个子结点进行交换，继续下沉操作；否则，终止下沉操作。
如图所示，代表的是一个关键字为 19 的结点，通过不断下沉，到达叶子结点的过程。下沉完毕以后，它还是一个大顶堆。
下沉过程的 C语言 实现如下：
void heapShiftDown(Heap* heap, int curr) { // (1)
int son = lson(curr); // (2)
while(son < heap->size) {
if( rson(curr) < heap->size ) {
if( compareData( &heap->data[rson(curr)], &heap->data[son] ) < 0 ) {
son = rson(curr); // (3)
}
}
if( compareData( &heap->data[son], &heap->data[curr] ) < 0 ) {
swap(&heap->data[son], &heap->data[curr]); // (4)
curr = son;
son = lson(curr);
}else {
break; // (5)
}
}
}
heapShiftDown这个接口是一个内部接口，所以用小写驼峰区分，用于对堆中元素进行删除的时候的下沉调整；curr表示需要进行下沉操作的结点在堆中的编号，son表示curr的左儿子结点编号；通过给定的数据集合，创建堆。可以先创建堆数组的内存空间，然后一个一个执行堆的插入操作。插入操作的具体实现，会在下文继续讲解。
Heap* HeapCreate(DataType *data, int dataSize, int maxSize) { // (1)
int i;
Heap *h = (Heap *)malloc( sizeof(Heap) ); // (2)
h->data = (DataType *)malloc( sizeof(DataType) * maxSize ); // (3)
h->size = 0; // (4)
h->capacity = maxSize; // (5)
for(i = 0; i < dataSize; ++i) {
HeapPush(h, data[i]); // (6)
}
return h; // (7)
}
dataSize的数组data，创建一个最大元素个数为maxSize的堆并返回堆的结构体指针；malloc申请堆的结构体的内存；malloc申请存储堆数据的数组的内存空间；maxSize；HeapPush接下来会讲到；堆元素的插入过程，就是先将元素插入堆数组的最后一个位置，然后执行上浮操作；
bool HeapPush(Heap* heap, DataType data) {
if( heapIsFull(heap) ) {
return false; // (1)
}
heap->data[ heap->size++ ] = data; // (2)
heapShiftUp(heap, heap->size-1); // (3)
return true;
}
堆元素的删除，只能对堆顶元素进行操作，可以将数组的最后一个元素放到堆顶，然后对堆顶元素进行下沉操作。
bool HeapPop(Heap *heap) {
if(HeapIsEmpty(heap)) {
return false; // (1)
}
heap->data[root] = heap->data[ --heap->size ]; // (2)
heapShiftDown(heap, root); // (3)
return true;
}
获取堆顶元素，就是获取了当前所有元素的最值。
DataType HeapTop(Heap *heap) {
// assert(!HeapIsEmpty(heap));
return heap->data[root]; // (1)
}
销毁时注意释放malloc申请的内存；
很遗憾，这个没法动图了。
void HeapFree(Heap *heap) {
free(heap->data);
free(heap);
}
有关 🌳 堆 🌳 的的内容到这里就完全结束了。
有关🌳《画解数据结构》🌳 的源码均开源，链接如下：《画解数据结构》