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在许多实际应用中，系统模型是不可访问的，因此需要对其进行一些估计。因此，状态估计和对随机、可能非线性的动力系统进行表征是广泛研究的问题。传统上，这些问题是通过使用经典算法来解决的，这些算法依赖于预定义的参数模型。一方面，参数模型需要足够简单，以允许从测量中进行准确的参数估计。另一方面，过于简单的模型往往无法适应真实系统的复杂性。这促进了非参数方法的发展[1]–[5]。特别是在本文中，我们采用了非参数方法，并提出了一种新的方法，以数据驱动的方式推导系统模型。
本文提出了一种针对高维非线性随机动力系统状态估计的非参数方法，该系统根据具有各向同性扩散的梯度流进行演化。我们将扩散映射（一种流形学习技术）与线性卡尔曼滤波器以及库普曼算子理论的概念相结合。更具体地说，利用扩散映射，我们构建了数据驱动的虚拟状态坐标，从而使系统模型线性化。基于这些坐标，我们设计了一个使用卡尔曼滤波器进行状态估计的数据驱动框架。我们在三个跟踪问题中展示了我们的方法相对于参数化和非参数化算法的优势。特别是，将该方法应用于啮齿动物海马神经活动的实际记录中，直接得到了动物位置的表示。我们展示了所提出的方法在检验的随机问题表述中优于竞争的非参数化算法。此外，我们获得了与经典参数化算法可比较的结果，而与我们的方法相反，这些算法具有模型知识。详细文章见第4部分。
部分代码：
%% Constrcut diffusion maps with the modified mahalanobis distance
% Compute the modified mahalanobis distance for the (noisy) measurements:
mahDist = modified_mahalanobis(yM);
% Compute diffusion maps coordinates and eigenvalues:
[psi, lambda] = diffusion_maps(mahDist, DMdim);
%% DMK framework:
% Apply DMK:
[~, yDMK_est] = dmk(psi, lambda, yM, deltaT);
%% Compute estimations of the particle filter:
DriftRate1 = @(t,X) -0.5*(X-1).^3+(X-1); % set true drift parameters
DriftRate2 = @(t,X) -0.5*(X-6).^3+(X-6); % set true drift parameters
% Particle Filter:
y_est_pf = particle_filter( yM, DriftRate1, DriftRate2, deltaT, noiseStd(1)*std(yT,[],2), procStd, InitLoc );
%% Plot trajectory examples - for each SNR:
tt = 100:size(yM,2); % samples to consider - ignoring the first samples in the error calculations due to initialization effect errors
figure
scatter(tt*deltaT,yM(2,tt),20,[0.6,0.6,0.6],'x');
hold on
xlabel('t [sec]','FontSize',14); ylabel('$$r$$','Interpreter','latex','FontSize',16)
plot(tt*deltaT,yT(2,tt),':k','LineWidth',2);
plot(tt*deltaT,y_est_pf(2,tt),'Color',[0.5,0.5,0.5],'LineWidth',2);
plot(tt*deltaT,yDMK_est(2,tt),'b','LineWidth',1);
lgd = legend({'Noisy meas.','Clean meas.','PF estimation','DMK estimation'},'Location','southeast');
lgd.FontSize = 12;
if ~gendata; xlim([2,5]); ylim([2,10]); end
hold off;
set(gcf,'Position',[45,90,560,285]);
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Author: Tal Shnitzer.
