从一个节点 A 到节点 B 的最大边权

2024-01-16

给定一个连通的无向图N节点 (1 NN-1边缘。我们定义一个函数F(a,b), where F(a, b)等于路径中的最大边权重a to b。我们如何找到总和F(a, b)对全部a, b这样1 <= a, b <= N(模 10^9 + 7)

示例图

F(a,b)等于从a到b的路径中的最大边权重。

F(1, 2) = 2

F(1, 3) = 2

F(1, 4) = 4

F(1, 5) = 4

F(2, 3) = 1

F(2, 4) = 4

F(2, 5) = 4

F(3, 4) = 4

F(3, 5) = 4

F(4, 5) = 3

所有对的 F 之和等于 32。


为此,我们可以使用 Kruskal 的 MST 算法的变体(Kruskal 通过增加权重对边进行排序,借助不相交集数据结构贪婪地插入不形成循环的边)。将运行总和初始化为零;每当我们通过权重 w 的边将大小为 S1 的不相交集(此信息可作为按大小并集的不相交集数据结构的副产品)与大小为 S2 的不相交集合并时,将 S1*S2*w 添加到总和模 10^9 + 7。

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