英文链接：Discrete Fourier Transform
copyMakeBorder()、merge()、dft()、getOptimalDFTSize()、log()和normalize()等函数。#include "opencv2/core.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/imgcodecs.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"
#include <iostream>
using namespace cv;
using namespace std;
static void help(char ** argv)
{
cout << endl
<< "This program demonstrated the use of the discrete Fourier transform (DFT). " << endl
<< "The dft of an image is taken and it's power spectrum is displayed." << endl << endl
<< "Usage:" << endl
<< argv[0] << " [image_name -- default lena.jpg]" << endl << endl;
}
int main(int argc, char ** argv)
{
help(argv);
const char* filename = argc >=2 ? argv[1] : "lena.jpg";
Mat I = imread( samples::findFile( filename ), IMREAD_GRAYSCALE);
if( I.empty()){
cout << "Error opening image" << endl;
return EXIT_FAILURE;
}
Mat padded; //expand input image to optimal size
int m = getOptimalDFTSize( I.rows );
int n = getOptimalDFTSize( I.cols ); // on the border add zero values
copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
Mat complexI;
merge(planes, 2, complexI); // Add to the expanded another plane with zeros
dft(complexI, complexI); // this way the result may fit in the source matrix
// compute the magnitude and switch to logarithmic scale
// => log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
split(complexI, planes); // planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] = magnitude
Mat magI = planes[0];
magI += Scalar::all(1); // switch to logarithmic scale
log(magI, magI);
// crop the spectrum, if it has an odd number of rows or columns
magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
// rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at the image center
int cx = magI.cols/2;
int cy = magI.rows/2;
Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy)); // Top-Left - Create a ROI per quadrant
Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy)); // Top-Right
Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy)); // Bottom-Left
Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); // Bottom-Right
Mat tmp; // swap quadrants (Top-Left with Bottom-Right)
q0.copyTo(tmp);
q3.copyTo(q0);
tmp.copyTo(q3);
q1.copyTo(tmp); // swap quadrant (Top-Right with Bottom-Left)
q2.copyTo(q1);
tmp.copyTo(q2);
normalize(magI, magI, 0, 1, NORM_MINMAX); // Transform the matrix with float values into a
// viewable image form (float between values 0 and 1).
imshow("Input Image" , I ); // Show the result
imshow("spectrum magnitude", magI);
waitKey();
return EXIT_SUCCESS;
}
傅里叶变换将图像分解成正弦分量和余弦分量。换句话说，它将图像从空间域转换到频率域。它的思想是：任何函数都可以被精确地近似为无限个正弦函数和余弦函数的和。傅里叶变换就是一种方法。二维图像傅里叶变换在数学上为:
F
(
k
,
l
)
=
∑
i
=
0
N
−
1
∑
j
=
0
N
−
1
f
(
i
,
j
)
e
−
i
2
π
(
k
i
N
+
l
j
N
)
F(k,l) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{N-1}\sum\limits_{j=0}^{N-1} f(i,j)e^{-i2\pi(\frac{ki}{N}+\frac{lj}{N})}
F(k,l)=i=0∑N−1j=0∑N−1f(i,j)e−i2π(Nki+Nlj)
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e^{ix} = \cos{x} + i\sin {x}
eix=cosx+isinx
这里
f
f
f是空间域的图像值，
F
F
F是频率域的值。转换后的结果是复数。可以通过 实域和复域 或 幅域和相域来显示。然而，在整个图像处理算法中，只有幅值图像（即幅域）是有趣的，因为它包含了我们需要的关于图像几何结构的所有信息。然而，如果你打算对这种形式的图像做一些修改，然后再重新逆变换它。那么你需要保留这两种形式的图像。
在这个例子中，我将展示如何计算和展示傅里叶变换的幅值图像。在数字情况下图像是离散的。这意味着它们可以从给定的域值中获取值。例如，基本灰度图像的值通常在0到255之间。因此傅里叶变换也需要是离散型的，从而得到离散傅里叶变换(DFT)。当您需要从几何角度确定图像的结构时，您将希望使用此方法。以下是接下来的步骤(对于灰度输入图像
I
I
I):
DFT的性能取决于图像的大小。当图像大小是数字2、3和5的倍数时，它往往是最快的。为了获得最大的性能，通常将边界值填充到图像中，得到具有这些尺寸特征的的图像。getOptimalDFTSize()返回这个最佳大小，我们可以使用copyMakeBorder()函数来扩展图像的边界(附加的像素被初始化为零)
Mat padded; //expand input image to optimal size
int m = getOptimalDFTSize( I.rows );
int n = getOptimalDFTSize( I.cols ); // on the border add zero values
copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
傅里叶变换的结果是复数。这意味着对于每个图像值，结果对应两个图像值(每个组件一个)。此外，它的频域范围要比它相对应的空域大得多。因此，我们通常至少以浮点格式存储它们。因此，我们将把输入图像转换为这种类型，并增加一个通道 扩展它，以保存复数值:
Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
Mat complexI;
merge(planes, 2, complexI); // Add to the expanded another plane with zeros
有可能就地进行计算(输入对象即输出对象):
dft(complexI, complexI); // this way the result may fit in the source matrix
一个复数有实部(Re)和复部(虚部- Im)。DFT的结果是复数。DFT的 幅值部分 为:
M
=
R
e
(
D
F
T
(
I
)
)
2
+
I
m
(
D
F
T
(
I
)
)
2
2
M = \sqrt[2]{ {Re(DFT(I))}^2 + {Im(DFT(I))}^2}
M=2Re(DFT(I))2+Im(DFT(I))2
翻译成OpenCV代码:
split(complexI, planes); // planes[0] = Re(DFT(I)), planes[1] = Im(DFT(I))
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] = magnitude
Mat magI = planes[0];
结果表明，傅里叶系数的动态范围太大，无法在屏幕上显示。我们无法观察到较低和较高的变量。因此，高值将全部变成白点，而低值将变成黑色。要将灰度值用于可视化，我们可以将线性比例转换为对数比例：
M
1
=
log
(
1
+
M
)
M_1 = \log{(1 + M)}
M1=log(1+M)
翻译成OpenCV代码:
magI += Scalar::all(1); // switch to logarithmic scale
log(magI, magI);
在第一步，我们扩展了图像。现在是时候抛弃新引入的值了。
为了可视化的目的，我们还可以重新排列结果的象限，以便原点（0，0）与图像中心相对应。
// crop the spectrum, if it has an odd number of rows or columns
magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
// rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at the image center
int cx = magI.cols/2;
int cy = magI.rows/2;
Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy)); // Top-Left - Create a ROI per quadrant
Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy)); // Top-Right
Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy)); // Bottom-Left
Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); // Bottom-Right
Mat tmp; // swap quadrants (Top-Left with Bottom-Right)
q0.copyTo(tmp);
q3.copyTo(q0);
tmp.copyTo(q3);
q1.copyTo(tmp); // swap quadrant (Top-Right with Bottom-Left)
q2.copyTo(q1);
tmp.copyTo(q2);
这也是为了可视化的目的。我们现在有幅值，但这仍然超出我们的图像显示范围0到1。我们使用cv::normalize()函数将值规范化到这个范围。
normalize(magI, magI, 0, 1, NORM_MINMAX); // Transform the matrix with float values into a
// viewable image form (float between values 0 and 1).
一个应用的想法是确定图像中呈现的几何方向。例如，让我们看看一个文本是否水平? 看一些文本，你会发现文本行也有水平线，字母也有垂直线。在傅立叶变换的情况下，文本片段的这两个主要部分也可以看到。让我们用这个水平和旋转的图像来表示文本。
如果是水平文本：
如果是旋转文本：
您可以看到，频域最有影响力的分量(幅值图像上最亮的点)跟随图像上对象的几何旋转。由此，我们可以计算偏移量，并执行图像旋转来纠正错过的对准。