系列的第 n 项

我们必须找到这个级数的第n项http://oeis.org/A028859 http://oeis.org/A028859

n

答案应该以 1000000007 为模

我已经编写了代码，但是当 n a 是一个巨大的数字时，时间限制就超出了。

#include<iostream>
using namespace std

int main()
{
    long long int n;
    cin>>n;

    long long int a,b,c;
    a=1;
    b=3;

    int i;
    for(i=3;i<=n;i++)
    {
        c=(2ll*(a+b))%1000000007;
        a=b;
        b=c; 
    }

    cout<<c;
}

解决此类问题的标准技术是将其重写为矩阵乘法，然后使用通过平方求幂 http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring有效地计算矩阵的幂。

在这种情况下：

a(n+2) = 2 a(n+1) + 2 a(n)
a(n+1) = a(n+1)

(a(n+2)) = (2  2) * ( a(n+1) )
(a(n+1))   (1  0)   ( a(n)   )

因此，如果我们定义矩阵 A=[2,2 ; 1,0]，那么你可以计算第 n 项

[1,0] * A^(n-2) * [3;1]

所有这些操作都可以对 1000000007 进行模运算，因此不需要大数库。

它需要 O(log(n)) 2*2 矩阵乘法来计算 A^N，因此总的来说，此方法是 O(log(n))，而您的原始方法是 O(n)。

EDIT

Here http://wilanw.blogspot.co.uk/2009/12/matrix-exponentiation.html是这个方法的一个很好的解释和 C++ 实现。