ODE45 和 Runge-Kutta 方法与解析解的绝对误差比较

如果有人可以帮助解决以下问题，我将不胜感激。 我有以下常微分方程：

dr/dt = 4*exp(0.8*t) - 0.5*r   ,r(0)=2, t[0,1]       (1)

我用两种不同的方式解决了（1）。 借助于龙格-库塔法（第四阶）并通过ode45在Matlab中。我将这两个结果与解析解进行了比较，解析解由下式给出：

r(t) = 4/1.3 (exp(0.8*t) - exp(-0.5*t)) + 2*exp(-0.5*t)

当我绘制每种方法相对于精确解的绝对误差时，我得到以下结果：

对于RK方法，我的代码是：

h=1/50;                                            
x = 0:h:1;                                        
y = zeros(1,length(x)); 
y(1) = 2;    
F_xy = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;                   
for i=1:(length(x)-1)                              
    k_1 = F_xy(x(i),y(i));
    k_2 = F_xy(x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*h*k_1);
    k_3 = F_xy((x(i)+0.5*h),(y(i)+0.5*h*k_2));
    k_4 = F_xy((x(i)+h),(y(i)+k_3*h));
    y(i+1) = y(i) + (1/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)*h;  % main equation
end

And for ode45:

tspan = 0:1/50:1;
x0 = 2;
f = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;
[tid, y_ode45] = ode45(f,tspan,x0);

我的问题是，为什么我使用时会出现振荡ode45？ （我指的是绝对误差）。两种解决方案都是准确的（1e-9），但是会发生什么ode45在这种情况下？

当我计算 RK 方法的绝对误差时，为什么它看起来更好？

你的 RK4 函数正在采取比那些小得多的固定步骤ode45正在服用。您真正看到的是由于以下原因造成的错误多项式插值 https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation用于产生真实步骤之间的点ode45需要。这通常被称为“密集输出”（参见海尔和奥斯特曼 1990 http://dx.doi.org/10.1007/BF01385634).

当您指定一个TSPAN具有两个以上元素的向量，Matlab ODE 套件求解器 http://www.mathworks.com/help/matlab/ordinary-differential-equations.html产生固定步长的输出。这并不意味着他们实际上使用固定步长或他们使用您中指定的步长TSPAN然而。您可以看到使用的实际步长，并且仍然可以通过以下方式获得所需的固定步长输出ode45输出结构并使用deval http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/deval.html:

sol = ode45(f,tspan,x0);
diff(sol.x) % Actual step sizes used
y_ode45 = deval(sol,tspan);

在执行初始步骤后您会看到0.02，因为你的 ODE 很简单，所以它收敛于0.1用于后续步骤。默认容差与默认最大步长限制（积分间隔的十分之一）相结合决定了这一点。让我们绘制真实步骤的误差：

exactsol = @(t)(4/1.3)*(exp(0.8*t)-exp(-0.5*t))+2*exp(-0.5*t);
abs_err_ode45 = abs(exactsol(tspan)-y_ode45);
abs_err_ode45_true = abs(exactsol(sol.x)-sol.y);
abs_err_rk4 = abs(exactsol(tspan)-y);
figure;
plot(tspan,abs_err_ode45,'b',sol.x,abs_err_ode45_true,'k.',tspan,abs_err_rk4,'r--')
legend('ODE45','ODE45 (True Steps)','RK4',2)

正如您所看到的，真实步骤的误差比 RK4 的误差增长得更慢（ode45实际上是比 RK4 更高阶的方法，所以您会预料到这一点）。由于插值，误差在积分点之间增大。如果您想限制这一点，那么您应该通过调整容差或其他选项odeset http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/odeset.html.

如果你想强行ode45使用步骤1/50你可以这样做（有效，因为你的 ODE 很简单）：

opts = odeset('MaxStep',1/50,'InitialStep',1/50);
sol = ode45(f,tspan,x0,opts);
diff(sol.x)
y_ode45 = deval(sol,tspan);

对于另一个实验，尝试扩大积分间隔以积分到t = 10或许。您将在错误中看到许多有趣的行为（绘制相对错误在这里很有用）。你能解释一下吗？你能用吗ode45 and odeset产生表现良好的结果？使用自适应步骤方法对大区间内的指数函数进行积分具有挑战性，并且ode45不一定是完成这项工作的最佳工具。有备择方案 http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_methods_for_ordinary_differential_equations#The_first-order_exponential_integrator_method然而，但它们可能需要一些编程。