在傅立叶插值的上下文中返回函数的“传统”符号

在数值分析中，我们学生有义务在 R 中实现代码，给定函数 f(x) 找到其傅立叶插值 tN(x) 并计算插值误差

$||f(x)-t_{N}(x)||=\int_{0}^{2\pi}$ $|f(x)-t_{N}(x)|^2$ 

或各种不同的$N$ 我首先尝试根据以下公式计算 d 系数：

$d = \frac 1N  M  y$

其中 M 表示 DFT 矩阵，y 表示一系列等距函数值，其中

$y_j = f(x_j)$ and 
$x_j = e^{\frac{2*pi*i}N*j}$ 
for $j = 1,..,N-1$. 

我的目标是得出一个可以用以下方式描述的总和：

$t_{N}(x) = \Sigma_{k=0}^{N-1} d_k * e^{i*k*x}$

以后更容易将其集成为随后的附加符号。

f <- function(x) 3/(6+4*cos(x)) #first function to compare with
g <- function(x) sin(32*x) #second one
xj <- function(x,n) 2*pi*x/n

M <- function(n){
   w = exp(-2*pi*1i/n)
   m = outer(0:(n-1),0:(n-1))
   return(w^m)
}

y <- function(n){
   f(xj(0:(n-1),n))
} 
transformFunction <- function(n, f){
   d = 1/n * t(M(n)) %*% f(xj(0:(n-1),n))
   script <- paste(d[1])
   for(i in 2:n)
   script <- paste0(script,paste0("+",d[i],"*exp(1i*x*",i,")"))
   #trans <- sum(d[1:n] * exp(1i*x*(0:(n-1))))
   return(script)
 } 

变换函数的主要目的最初是返回一个函数 - 或者更确切地说：一个数学表达式 - 然后可以使用它来声明我的傅里叶插值函数。问题是，根据我相当有限的知识，我无法集成仍然嵌套有求和的函数（这就是我评论代码中相应行的原因）。 出于绝对的绝望，我随后尝试以文本形式粘贴每个加数，只是将它们再次解析为表达式。 因此，剩下的主要问题是：如何以允许我将数学表达式用作函数并稍后集成它们的方式返回数学表达式？ 对于任何误解或困惑，以及我看似业余的编码，我深表歉意。 提前致谢！

R 中的函数可以返回任何类，因此也可以返回类的对象function。因此，您可以使trans的函数x并返回。

自从integrate函数需要一个向量化函数，我们使用Vectorize输出之前。

transformFunction <- function(n, f){
    d = 1/n * t(M(n)) %*% f(xj(0:(n-1),n))

    ## Output function
    trans <- function(x) sum(d[1:n] * exp(1i*x*(0:(n-1))))
    ## Vectorize output for the integrate function
    Vectorize(trans)
} 

要集成，现在只需使用以下输出创建一个新变量transformFunction:

myint <- transformFunction(n = 10,f = f)

Test: (integrate只能处理实值函数）

integrate(function(x) Re(myint(x)),0,2)$value + 
    1i*integrate(function(x) Im(myint(x)),0,2)$value
# [1] 1.091337-0.271636i