随机化两个值之间的矩阵元素，同时保持行和列总和固定 (MATLAB)

我遇到了一些技术问题，但我觉得使用 MATLAB 强大的工具集应该可以实现。

我拥有的是一个由 0 和 w 组成的随机 n × n 矩阵，例如生成的

A=w*(rand(n,n)<p);

w 的典型值为 3000，但这应该不会太重要。

现在，这个矩阵有两个重要的量，向量

c = sum(A,1); 
r = sum(A,2)';

这是两个行向量，第一个表示每列的总和，第二个表示每行的总和。

接下来我想做的是随机化 w 的每个值，例如在 0.5 和 2 之间。我会这样做

rand_M = (0.5-2).*rand(n,n) + 0.5
A_rand = rand_M.*A;

但是，我不想只选择这些随机数：我希望它们对于每一列和每一行，总和仍然等于 c 和 r 的元素。因此，为了稍微清理一下符号，假设我们定义

A_rand_c = sum(A_rand,1);
A_rand_r = sum(A_rand,2)';

我希望所有人都能如此j = 1:n, A_rand_c(j) = c(j) and A_rand_r(j) = r(j).

我正在寻找一种以我认为的算法方式重新绘制 rand_M 元素的方法，以便最终满足这些要求。

当然，除非我有无限的时间，否则这可能不会真正发生。因此，我接受这些数量属于特定范围：A_rand_c(j)必须是一个元素[(1-e)*c(j),(1+e)*c(j)] and A_rand_r(j) of [(1-e)*r(j),(1+e)*r(j)]。这个 e 我事先定义了，比如说 0.001 之类的。

在寻找方法的过程中有人能够帮助我吗？我尝试过一种随机重新选择数字的方法，但这确实没有任何帮助。它也不必非常高效，我只需要它能够在有限的时间内为规模较大的网络（例如 n = 50）工作。

需要明确的是，最终的输出是矩阵A_rand满足这些约束条件。

编辑： 好吧，经过一番思考，我想用一些 while 语句来遍历矩阵的每个元素可能是可行的。困难的部分是有四种可能性：如果你处于特定元素A_rand(i,j)，可能是这样A_rand_c(j) and A_rand_r(i)都太小、都太大或相反。前两种情况很好，因为这样你就可以重新绘制随机数，直到它小于当前值并改善情况。但另外两种情况是有问题的，因为你会改善一种情况，但不会改善另一种情况。我想它必须看看哪些标准不太满足，以便它尝试修复更糟糕的标准。但这不是微不足道的，我想说..

您可以利用以下事实：具有单个非零条目的行/列A自动为您提供同一条目的结果A_rand. If A(2,5) = w它是其列中唯一的非零条目，那么A_rand(2,5) = w以及。还能是什么？

您可以交替查找这些单条目行/列，并为值无关紧要的条目分配随机数。

这是该过程的框架：

• A_rand=zeros(size(A))是你要填充的矩阵
• entries_left = A>0是一个二进制矩阵，显示其中的条目A_rand你还需要填写
• col_totals=sum(A,1)是您仍需要在每一列中添加的金额A_rand
• row_totals=sum(A,2)是您仍需要在每一行中添加的金额A_rand

while sum( entries_left(:) ) > 0

% STEP 1:
% function to fill entries in A_rand if entries_left has rows/cols with one nonzero entry
% you will need to keep looping over this function until nothing changes
% update() A_rand, entries_left, row_totals, col_totals every time you loop

% STEP 2:
% let (i,j) be the indeces of the next non-zero entry in entries_left
% assign a random number to A_rand(i,j) <= col_totals(j) and <= row_totals(i)
% update() A_rand, entries_left, row_totals, col_totals

end

update()
    A_rand(i,j) = random_value;
    entries_left(i,j) = 0;
    col_totals(j) = col_totals(j) - random_value;
    row_totals(i) = row_totals(i) - random_value;
end

选取范围为random_value可能有点棘手。我能想到的最好的办法是从一个相对狭窄的分布中得出它N*w*p where p是进入的概率A非零（这将是行/列总计的平均值）。

这不能很好地扩展到大型矩阵，因为它会随着n^2复杂。我在 200 x 200 矩阵上对其进行了测试，大约需要 20 秒。