在索引到数组的同时求解向量二阶微分方程

我正在尝试求解微分方程：

m(t) = M(x)x'' + C(x, x') + B x'

where x and x'是具有 2 个条目的向量，表示动态系统中的角度和角速度。中号（x) 是一个 2x2 矩阵，它是 theta 分量的函数，C 是一个 2x1 向量，它是 theta 和 theta' 的函数，B 是一个 2x2 常量矩阵。 m(t) 是一个 2*1001 数组，包含在 1001 个时间步长处施加到两个关节中的每个关节的扭矩，我想计算角度的演变作为这 1001 个时间步长的函数。

我已将其转换为标准形式：

x'' = M(x)^-1 (m(t) - C(x, x') - B x')

然后代入y_1 = x and y_2 = x'给出一阶线性方程组：

y_2 = y_1'

y_2' = M(y_1)^-1 (m(t) - C(y_1, y_2) - B y_2)

（我在 x 和 y 的代码中使用了 theta 和 phi）

def joint_angles(theta_array, t, torques, B):

    phi_1 = np.array([theta_array[0], theta_array[1]])
    phi_2 = np.array([theta_array[2], theta_array[3]])

    def M_func(phi):
        M = np.array([[a_1+2.*a_2*np.cos(phi[1]), a_3+a_2*np.cos(phi[1])],[a_3+a_2*np.cos(phi[1]), a_3]])
        return np.linalg.inv(M)

    def C_func(phi, phi_dot):
        return a_2 * np.sin(phi[1]) * np.array([-phi_dot[1] * (2. * phi_dot[0] + phi_dot[1]), phi_dot[0]**2])

    dphi_2dt = M_func(phi_1) @ (torques[:, t] - C_func(phi_1, phi_2) - B @ phi_2)

    return dphi_2dt, phi_2

t = np.linspace(0,1,1001)
initial = theta_init[0], theta_init[1], dtheta_init[0], dtheta_init[1]

x = odeint(joint_angles, initial, t, args = (torque_array, B))

我收到错误，无法使用 t 数组对扭矩进行索引，这非常有意义，但是我不确定如何让它在每个时间步使用扭矩的当前值。

我还尝试将 odeint 命令放入 for 循环中，并一次仅在一个时间步骤对其进行评估，使用函数的解作为下一个循环的初始条件，但是该函数只是返回初始条件，这意味着每个循环都是完全相同的。这让我怀疑我在实施标准表格时犯了一个错误，但我无法弄清楚它是什么。然而，最好不必每次都在 for 循环中调用 odeint 求解器，而是将其全部作为一个来完成。

如果有帮助的话，我的初始条件和常数值是：

    theta_init = np.array([10*np.pi/180, 143.54*np.pi/180])
    dtheta_init = np.array([0, 0])

    L_1 = 0.3
    L_2 = 0.33
    I_1 = 0.025
    I_2 = 0.045
    M_1 = 1.4
    M_2 = 1.0
    D_2 = 0.16

    a_1 = I_1+I_2+M_2*(L_1**2)
    a_2 = M_2*L_1*D_2
    a_3 = I_2

感谢您的帮助！

求解器使用适合问题的内部步进。给定的时间列表是内部解被插值以输出样本的点的列表。内部和外部时间列表没有任何关系，内部时间列表仅取决于给定的容差。

数组索引和采样时间之间没有实际的自然关系。

将给定时间转换为索引并从周围的表条目构造样本值称为插值法（通过分段多项式函数）。

扭矩作为一种物理现象至少是连续的，分段线性插值是将给定的函数值表转化为实际的连续函数的最简单方法。当然还需要时间数组。

So use numpy.interp1d或者更高级的例程scipy.interpolate定义可根据求解器及其积分方法的要求在任意时间评估的扭矩函数。