了解使用 LFSR 实现 CRC 生成的两种不同方法

There are two ways of implementing CRC generation with linear feedback shift registers (LFSR), as shown in this figure . The coefficients of generator polynomial in this picture are 100111, and the red "+" circles are exclusive-or operators. The initialization register values are 00000 for both.

例如，如果输入数据比特流是 10010011，则 A 和 B 都会给出 1010 的 CRC 校验和。区别在于 A 完成了 8 次移位，而 B 则由于输入附加了 5 个零，因此完成了 8+5=13 次移位数据。我可以很容易地理解 B，因为它非常模仿模 2 除法。然而，我无法从数学上理解 A 如何在少 5 个班次的情况下给出相同的结果。我听说人们在谈论 A 利用了预先附加的零，但我没有明白。谁能给我解释一下吗？谢谢！

这是我的快速理解。

令 M(x) 为 m 阶输入消息（即具有 m+1 位），G(x) 为 n 阶 CRC 多项式。此类消息的 CRC 结果由下式给出

C(x) = (M(x) * xⁿ) % G(x)

This is what the circuit B is implementing. The additional 5 cycles it takes is because of the xⁿ operation.

电路 A 没有遵循这种方法，而是尝试做一些更聪明的事情。它试图解决这个问题

如果 C(x) 是 M(x) 的 CRC，那么消息 {M(x), D} 的 CRC 是多少

其中 D 是新位。因此它试图一次解决一位而不是像电路 b 那样解决整个消息。因此，对于 8 位消息，电路 A 仅需要 8 个周期。

现在，既然您已经了解了为什么电路 B 看起来像它那样，那么让我们看看电路 A。专门针对您的情况的数学，将位 D 添加到消息 M(x) 对 CRC 的影响如下

Let current CRC C(x) be {c4, c3, c2, c1, c0} and new bit that is shifted in be D
NewCRC = {M(x), D}*x⁵) % G(x) = (({M(x), 0} * x⁵) % G(x)) XOR ((D * x⁵) % G(x))
which is ({c3, c2, c1, c0, 0} XOR {0, 0, c4, c4, c4}) XOR ({0, 0, D, D, D})
which is {c3, c2, c1^c4^D, c0^c4^D, c4^D}

即 LFSR 电路 A。