在 O(E logV) 中求图中的单调最短路径

创意题第 34 题这一页 http://algs4.cs.princeton.edu/44sp/.

单调最短路径。给定一个边加权有向图，找到一条从 s 到所有其他顶点的单调最短路径。如果路径上每条边的权重严格递增或严格递减，则路径是单调的。

部分解决方案：按升序放松边并找到最佳路径；然后按降序放松边缘并找到最佳路径。

我的问题：

假设我们按降序松弛边，并且我们可以选择在某个点采用多于 1 条边。我们将在什么基础上选择下一个优势？理想情况下，我们应该选择较小的边，因为它将最小化到该顶点的距离。但是，如果离开该顶点的所有边的权重都大于当前边的权重，则这样做可能会导致不再有来自该顶点的路径。

那么，我们该如何解决这个问题呢？

这个问题可以通过修改Dijkstra算法来解决。要点是放松不应该min在每个图节点中进行操作（像往常一样），但在优先级队列中。

以下是通常 Dijkstra 算法的修改列表。我只考虑按升序排列的边松弛，这会导致严格减少最短路径（要获得增加的最短路径，请更改第 2 项和第 4 项）：

1. 通过对每个节点的传出边进行排序（按权重）来预处理图。
2. 每个节点应包含出边列表中的位置（由最轻边的位置初始化）。
3. 不需要优先级队列来支持“减少”操作（因此可以通过简单的最小堆来实现）。每个顶点都被插入到优先级队列中，然后永远不会改变，直到它出现在队列顶部（因此每个顶点可能会在队列中出现多次）。队列条目由键（通常是路径长度）、顶点和传入边的权重组成。因此我们可以假设优先级队列包含传入的边而不是顶点。
4. 松弛过程：从队列中弹出边（以及该边结束的顶点）；对于该顶点的所有出边，按升序排列，从图节点存储的位置开始，当出边的权重大于或等于入边的权重时结束，将出边推入优先级队列并提前存储的位置。

该算法保证每条边最多处理一次（如果我们同时考虑严格递减和严格递增路径，则最多处理两次），因此其复杂度为 O(E log E)。

C++11 实现：

void getDecreasingSP(Vertices& vertices, Edges& edges, int src)
{
    for (auto& v: vertices)
        sort(begin(v.outEdges), end(v.outEdges),
             [&](int from, int to)
             {
                 return edges[from].weight < edges[to].weight;
             });

    PQ pq;
    auto& src_v = vertices[src];
    for (auto e: src_v.outEdges)
    {
        QEntry entry {edges[e].weight, e};
        pq.push(entry);
        ++src_v.pos;
    }

    while(!pq.empty())
    {
        QEntry top = pq.top();
        pq.pop();
        auto& v = vertices[edges[top.inEdge].to];

        while (v.pos < int(v.outEdges.size()) &&
            edges[v.outEdges[v.pos]].weight < edges[top.inEdge].weight)
        {
            auto e = v.outEdges[v.pos];
            edges[e].backPtr = top.inEdge;
            QEntry entry {top.pathWeight + edges[e].weight, e};
            pq.push(entry);
            ++v.pos;
        }

        if (v.backPtr == -1)
            v.backPtr = top.inEdge;
    }
}

也可以看看Ideone 上的工作代码 http://ideone.com/8JQ0tB。以及图形的可视化（通过此代码在 Graphviz 的帮助下生成），其中突出显示了严格递减的最短路径之一：