线性代数之——特征值和特征向量

线性方程 A x = b Ax=b Ax=b 是稳定状态的问题，特征值在动态问题中有着巨大的重要性。 d u / d t = A u du/dt=Au du/dt=Au 的解随着时间增长、衰减或者震荡，是不能通过消元来求解的。接下来，我们进入线性代数一个新的部分，基于 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx，我们要讨论的所有矩阵都是方阵。

1. 特征值和特征向量

几乎所有的向量在乘以矩阵 A A A 后都会改变方向，某些特殊的向量 x x x 和 A x Ax Ax 位于同一个方向，它们称之为特征向量。

A x = λ x Ax = \lambda x Ax=λx

数字 λ \lambda λ 称为特征值。它告诉我们在乘以 A A A 后，向量是怎么被拉伸、缩小、反转或者不变的。 λ = 0 \lambda = 0 λ=0 意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为 I x = x Ix=x Ix=x，其特征值为 1。

要计算特征值的话，我们只需要知道 d e t ( A − λ I ) = 0 det (A-\lambda I)=0 det(A−λI)=0 即可。

如果 x 1 x_1 x1​ 乘以 A A A 的话，我们仍然得到 x 1 x_1 x1​，任意 A A A 的乘方仍然得到 A n x 1 = x 1 A^nx_1=x_1 Anx1​=x1​ 。如果 x 2 x_2 x2​ 乘以 A A A 的话，我们得到 1 2 x 2 \frac{1}{2}x_2 21​x2​，再乘以 A A A 我们得到 ( 1 2 ) 2 x 2 (\frac{1}{2})^2x_2 (21​)2x2​。

当 A A A 被平方的时候，其特征向量不变，特征值也变为平方。

这种模式将会继续保持，因为特征向量一直待在他们自己的方向，不会改变。

其它向量都会改变方向，但它们可以表示为特征向量的线性组合。

当我们将这个向量乘以 A A A 后，每个特征向量都乘以了它们对应的特征值。

利用这个特性，我们可以进行 99 次乘法。

特征向量 x 1 x_1 x1​ 处于稳定状态，因为 λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ1​=1，所以它不会改变。特征向量 x 2 x_2 x2​ 处于衰减状态，因为 λ 2 = 0.5 \lambda_2=0.5 λ2​=0.5，乘方次数很大时，它就相当于消失了。

上述这个特殊的矩阵是一个马尔科夫矩阵，它的每个元素都为正并且每一列相加之后和为 1，这保证了它的最大特征值为 1。

对于投影矩阵，它的特征值为 0 和 1。 λ = 1 \lambda = 1 λ=1 对应于稳定状态，投影矩阵将列空间的所有向量都投影到列空间中去，也即还是它自身， P x 1 = x 1 Px_1 = x_1 Px1​=x1​。 λ = 0 \lambda = 0 λ=0 对应于零空间，投影矩阵将零空间的所有向量都投影到零向量， P x 2 = 0 Px_2 = \boldsymbol 0 Px2​=0。

对于镜像矩阵，它的特征值为 1 和 -1。 λ = 1 \lambda = 1 λ=1 说明乘以矩阵 R R R 后特征向量 x 1 x_1 x1​ 不变， λ = − 1 \lambda = -1 λ=−1 说明乘以矩阵 R R R 后特征向量 x 2 x_2 x2​ 变为相反方向。

同时，由于 R = 2 P − I R = 2P-I R=2P−I，因此投影矩阵和镜像矩阵有着相同的特征向量。如果 P x = λ x Px=\lambda x Px=λx，那么

( 2 P − I ) x = 2 P x − I x = ( 2 λ − 1 ) x (2P-I)x = 2Px-Ix = (2\lambda -1)x (2P−I)x=2Px−Ix=(2λ−1)x

2. 特征值的计算

A x = λ x → ( A − λ I ) x = 0 Ax=\lambda x \to (A-\lambda I) x = \boldsymbol 0 Ax=λx→(A−λI)x=0

如果上述式子有非零解，那么 A − λ I A-\lambda I A−λI 是奇异的，也就是行列式为零。因此，我们先通过下式求出特征值。

d e t ( A − λ I ) = 0 det(A-\lambda I)=0 det(A−λI)=0

然后，针对每个特征值，再通过求解 ( A − λ I ) x = 0 (A-\lambda I)x=\boldsymbol 0 (A−λI)x=0 来找到特征向量。

一些 2 × 2 2×2 2×2 矩阵可能只有一个特征向量，这时候，它的两个特征值相同。同理， n × n n×n n×n 的矩阵如果没有 n n n 个线性不相关的特征向量，那么就不能将任意一个向量都表示为特征向量的线性组合。

消元过程通常会改变矩阵的特征值，三角型矩阵 U U U 的对角线元素即为特征值，但它们不是矩阵 A A A 的特征值。

但是，我们可以从矩阵中很快地就发现特征值的乘积以及和。

n n n 个特征值的乘积就是矩阵的行列式值。 n n n 个特征值的和就是矩阵 n n n 个对角线元素的和。

主对角线上元素的和称为矩阵的迹（trace）。

另外，特征值也可能会不是实数。

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