L
(
ω
o
,
l
)
=
I
(
ω
o
)
l
2
L\left(\boldsymbol{\omega}_{o}, l\right)=\frac{I\left(\boldsymbol{\omega}_{o}\right)}{l^{2}}
L(ωo,l)=l2I(ωo)
其中,
I
(
ω
o
)
I(\boldsymbol{\omega}_{o})
I(ωo)表示辐射强度,
ω
O
∈
S
2
\boldsymbol{\omega}_{O}\in\mathcal{S}^{2}
ωO∈S2表示从点光源到着色点的方向,
l
∈
[
0
,
∞
)
l\in[0, \infty)
l∈[0,∞)表示从点光源到着色点的距离。
在这篇文章中,使用如下的概率函数:
p
(
ω
o
,
l
)
=
min
(
I
(
ω
o
)
δ
l
2
,
1
)
p\left(\boldsymbol{\omega}_{o}, l\right)=\min \left(\frac{I\left(\boldsymbol{\omega}_{o}\right)}{\delta l^{2}}, 1\right)
p(ωo,l)=min(δl2I(ωo),1)
Tokuyoshi为了使用包围球和现有的块剔除方法,但却忽略了概率函数
p
(
ω
o
,
l
)
p\left(\boldsymbol{\omega}_{o}, l\right)
p(ωo,l)的方向性。这篇文章考虑了光滑虚拟点光源的方向性,如下图4所示:
所以,某个VPL的辐射强度计算如下:
I
(
ω
o
)
=
Φ
f
(
ω
i
,
ω
o
)
max
(
ω
o
⋅
n
,
0
)
I\left(\boldsymbol{\omega}_{o}\right)=\Phi f\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right) \max \left(\boldsymbol{\omega}_{o} \cdot \mathbf{n}, 0\right)
I(ωo)=Φf(ωi,ωo)max(ωo⋅n,0)
其中
Φ
\Phi
Φ表示光子到达VPL处的辐射通量,
f
(
ω
i
,
ω
o
)
f\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right)
f(ωi,ωo)是BRDF,
ω
i
∈
S
2
\boldsymbol{\omega}_{i} \in \mathcal{S}^{2}
ωi∈S2是光子的入射方向,
n
∈
S
2
\mathbf{n} \in \mathcal{S}^{2}
n∈S2是VPL处的几何法线。因此,上图4所示的VPL的影响范围如下:
l
max
(
ω
o
)
=
p
−
1
(
ξ
)
=
Φ
f
(
ω
i
,
ω
o
)
max
(
ω
o
⋅
n
,
0
)
δ
ξ
l_{\max }\left(\boldsymbol{\omega}_{o}\right)=p^{-1}(\xi)=\sqrt{\frac{\Phi f\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right) \max \left(\boldsymbol{\omega}_{o} \cdot \mathbf{n}, 0\right)}{\delta \xi}}
lmax(ωo)=p−1(ξ)=δξΦf(ωi,ωo)max(ωo⋅n,0)
其中
l
max
(
ω
o
)
l_{\max }\left(\boldsymbol{\omega}_{o}\right)
lmax(ωo)是BRDF(
f
(
ω
i
,
ω
o
)
f\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right)
f(ωi,ωo))所反射的辐射率的等值面。为了绑定这个等值面,我们使用了与Dachsbacher溅射算法中使用过类似的椭球面。但与之不同的是,我们为GGX微平面的BRDF引入了包围椭球。
公式推导如下:
(字丑,见谅)
4 GGX反射的包围椭球
4.1 GGX微平面的BRDF
建模微平面的BRDF可以用来表示粗糙平面光的反射,BRDF计算如下:
f
(
ω
i
,
ω
o
)
=
F
(
ω
i
⋅
ω
h
)
G
2
(
ω
i
,
ω
o
)
D
(
ω
h
⋅
n
)
4
∣
ω
i
⋅
n
∥
ω
o
⋅
n
∣
f\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right)=\frac{F\left(\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}_{h}\right) G_{2}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right) D\left(\boldsymbol{\omega}_{h} \cdot \mathbf{n}\right)}{4\left|\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n} \| \boldsymbol{\omega}_{o} \cdot \mathbf{n}\right|}
f(ωi,ωo)=4∣ωi⋅n∥ωo⋅n∣F(ωi⋅ωh)G2(ωi,ωo)D(ωh⋅n)
其中,
ω
h
=
ω
i
+
ω
o
∥
ω
i
+
ω
o
∥
\boldsymbol{\omega}_{h}=\frac{\boldsymbol{\omega}_{i}+\boldsymbol{\omega}_{o}}{\left\|\boldsymbol{\omega}_{i}+\boldsymbol{\omega}_{o}\right\|}
ωh=∥ωi+ωo∥ωi+ωo表示半程向量,
F
(
ω
i
⋅
ω
h
)
∈
[
0
,
1
]
F\left(\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}_{h}\right) \in[0,1]
F(ωi⋅ωh)∈[0,1]是菲涅尔因子。
D
(
ω
h
⋅
n
)
D\left(\boldsymbol{\omega}_{h} \cdot \mathbf{n}\right)
D(ωh⋅n)是NDF,表示微平面法线的分布。在GGX中,NDF是一个钟形的函数,定义如下:
D
(
cos
θ
m
)
=
α
2
χ
+
(
cos
θ
m
)
π
(
α
2
cos
2
θ
m
+
sin
2
θ
m
)
2
D\left(\cos \theta_{m}\right)=\frac{\alpha^{2} \chi^{+}\left(\cos \theta_{m}\right)}{\pi\left(\alpha^{2} \cos ^{2} \theta_{m}+\sin ^{2} \theta_{m}\right)^{2}}
D(cosθm)=π(α2cos2θm+sin2θm)2α2χ+(cosθm)
其中,
α
\alpha
α是粗糙度参数,
χ
+
(
cos
θ
m
)
\chi^{+}(\cos \theta_{m})
χ+(cosθm)是海维赛德函数:如果
cos
θ
m
>
0
\cos \theta_{m} > 0
cosθm>0,则表示1;如果
cos
θ
m
≤
0
\cos \theta_{m} \leq 0
cosθm≤0,则表示0。本文假定
α
∈
(
0
,
1
]
\alpha \in(0,1]
α∈(0,1],这在计算机图形学的数据压缩中很常用,并且很容易被艺术家控制。如果
α
∈
(
0
,
1
]
\alpha \in(0,1]
α∈(0,1],那么GGX的NDF在
cos
θ
m
∈
[
0
,
π
/
2
]
\cos \theta_m \in[0,\pi/2]
cosθm∈[0,π/2]时单调递减。
G
2
(
ω
i
,
ω
o
)
∈
[
0
,
1
]
G_{2}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right) \in[0,1]
G2(ωi,ωo)∈[0,1]是阴影遮蔽函数。在本文中,我们使用Smith微平面模型,因为这个遮蔽函数是可分离的[问题2]:
G
1
(
ω
i
,
ω
h
)
=
χ
+
(
ω
i
⋅
ω
h
)
G
1
dist
(
ω
i
)
G_{1}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{h}\right)=\chi^{+}\left(\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}_{h}\right) G_{1}^{\text {dist }}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right)
G1(ωi,ωh)=χ+(ωi⋅ωh)G1dist (ωi)
其中,
χ
+
(
ω
i
⋅
ω
h
)
\chi^{+}(\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}_{h})
χ+(ωi⋅ωh)表示的是正面微平面的二元可见性,并且
G
1
d
i
s
t
(
ω
i
)
G_{1}^{dist}(\boldsymbol{\omega}_i)
G1dist(ωi)与
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh无关。根据可见法线分布的约束,
G
1
d
i
s
t
(
ω
i
)
G_{1}^{dist}(\boldsymbol{\omega}_i)
G1dist(ωi)定义如下:
G
1
dist
(
ω
i
)
=
∣
ω
i
⋅
n
∣
∫
S
2
D
(
ω
⋅
n
)
max
(
ω
i
⋅
ω
,
0
)
d
ω
=
2
∣
ω
i
⋅
n
∣
∣
ω
i
⋅
n
∣
+
(
1
−
α
2
)
(
ω
i
⋅
n
)
2
+
α
2
\begin{aligned} G_{1}^{\text {dist }}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right) &=\frac{\left|\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right|}{\int_{\mathcal{S}^{2}} D(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{n}) \max \left(\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}, 0\right) \mathrm{d} \boldsymbol{\omega}} \\ &=\frac{2\left|\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right|}{\left|\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right|+\sqrt{\left(1-\alpha^{2}\right)\left(\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right)^{2}+\alpha^{2}}} \end{aligned}
G1dist (ωi)=∫S2D(ω⋅n)max(ωi⋅ω,0)dω∣ωi⋅n∣=∣ωi⋅n∣+(1−α2)(ωi⋅n)2+α22∣ωi⋅n∣
Smith阴影遮蔽函数有几种形式(比如高度相关的形式),但任何形式都满足
G
2
(
ω
i
,
ω
o
)
≤
G
1
dist
(
ω
i
)
G_{2}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right) \leq G_{1}^{\text {dist }}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right)
G2(ωi,ωo)≤G1dist (ωi)
f
(
ω
i
,
ω
o
)
max
(
ω
o
⋅
n
,
0
)
≤
F
max
(
ω
i
)
G
1
d
i
s
t
(
ω
i
)
D
(
ω
h
⋅
n
)
4
∣
ω
i
⋅
n
∣
f\left(\boldsymbol{\omega}_{i}, \boldsymbol{\omega}_{o}\right) \max \left(\boldsymbol{\omega}_{o} \cdot \mathbf{n}, 0\right) \leq \frac{F_{\max }\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right) G_{1}^{\mathrm{dist}}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right) D\left(\boldsymbol{\omega}_{h} \cdot \mathbf{n}\right)}{4\left|\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right|}
f(ωi,ωo)max(ωo⋅n,0)≤4∣ωi⋅n∣Fmax(ωi)G1dist(ωi)D(ωh⋅n)
其中,
F
max
(
ω
i
)
F_{\max}(\boldsymbol{\omega}_i)
Fmax(ωi)是对于
ω
i
\boldsymbol{\omega}_i
ωi来说最大的菲涅尔因子。在不等式右边,与
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo有关的就只有NDF的
D
(
ω
h
⋅
n
)
D(\boldsymbol{\omega}_h \cdot \boldsymbol{n})
D(ωh⋅n)。当出射方向
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo位于以理想镜面反射方向为中心的球形圆上时,
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh是一个位于半短轴为
θ
2
\frac{\theta}{2}
2θ的球形椭圆上(如下图5.a和5.b)或半长轴为
θ
2
\frac{\theta}{2}
2θ的球形双曲线上(如下图5.c),其中理想镜面反射方向为
ω
u
=
2
(
ω
i
⋅
n
)
n
−
ω
i
\boldsymbol{\omega}_{u}=2\left(\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right) \mathbf{n}-\boldsymbol{\omega}_{i}
ωu=2(ωi⋅n)n−ωi,球形圆的半径为
θ
=
arccos
(
ω
o
⋅
ω
u
)
\theta=\arccos \left(\boldsymbol{\omega}_{o} \cdot \boldsymbol{\omega}_{u}\right)
θ=arccos(ωo⋅ωu),
θ
\theta
θ表示出射方向
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo与理想镜面反射方向
ω
u
\boldsymbol{\omega}_u
ωu之间的夹角。
因此,我们可以获得一个在
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh和
n
\boldsymbol{n}
n之间的角度下界[问题3]:
arccos
(
ω
h
⋅
n
)
≥
θ
2
\arccos \left(\boldsymbol{\omega}_{h} \cdot \mathbf{n}\right) \geq \frac{\theta}{2}
arccos(ωh⋅n)≥2θ
当出射方向
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo位于经过入射方向
ω
i
\boldsymbol{\omega}_i
ωi和法线
n
\boldsymbol{n}
n的大圆上时,不等式左右相等。对于
α
∈
(
0
,
1
]
\alpha \in(0,1]
α∈(0,1],因为GGX的NDF是单调递减的,根据上式就有:
D
(
ω
h
⋅
n
)
≤
D
(
cos
θ
2
)
D\left(\boldsymbol{\omega}_{h} \cdot \mathbf{n}\right) \leq D\left(\cos \frac{\theta}{2}\right)
D(ωh⋅n)≤D(cos2θ)
因此,基于GGX的光滑反射的等值面就被如下的面
s
(
ω
o
)
s(\boldsymbol{\omega}_o)
s(ωo)所包围:
l
max
(
ω
o
)
≤
s
(
ω
o
)
=
Φ
F
max
(
ω
i
)
G
1
dist
(
ω
i
)
D
(
cos
θ
2
)
4
δ
ξ
∣
ω
i
⋅
n
∣
=
r
π
D
(
cos
θ
2
)
\begin{aligned} l_{\max }\left(\boldsymbol{\omega}_{o}\right) \leq s\left(\boldsymbol{\omega}_{o}\right) &=\sqrt{\frac{\Phi F_{\max }\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right) G_{1}^{\text {dist }}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right) D\left(\cos \frac{\theta}{2}\right)}{4 \delta \xi\left|\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right|}} \\ &=r \sqrt{\pi D\left(\cos \frac{\theta}{2}\right)} \end{aligned}
lmax(ωo)≤s(ωo)=4δξ∣ωi⋅n∣ΦFmax(ωi)G1dist (ωi)D(cos2θ)=rπD(cos2θ)
其中,
r
=
Φ
F
max
(
ω
i
)
G
1
dist
(
ω
i
)
4
π
δ
ξ
∣
ω
i
⋅
n
∣
r=\sqrt{\frac{\Phi F_{\max }\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right) G_{1}^{\text {dist }}\left(\boldsymbol{\omega}_{i}\right)}{4 \pi \delta \xi\left|\boldsymbol{\omega}_{i} \cdot \mathbf{n}\right|}}
r=4πδξ∣ωi⋅n∣ΦFmax(ωi)G1dist (ωi)。意外的是,这个平面
s
(
ω
o
)
s(\boldsymbol{\omega}_o)
s(ωo)是一个椭球体,如下图6所示(推导见附录A)。
这个椭球体的半轴是(
α
\alpha
α表示粗糙度参数):
(
r
u
,
r
v
,
r
w
)
=
(
1
+
α
2
2
α
r
,
r
,
r
)
\left(r_{u}, r_{v}, r_{w}\right)=\left(\frac{1+\alpha^{2}}{2 \alpha} r, r, r\right)
(ru,rv,rw)=(2α1+α2r,r,r)
这个椭球体的旋转矩阵是:
R
=
[
ω
u
ω
w
×
ω
u
ω
w
]
\mathbf{R}=\left[\begin{array}{lll} \boldsymbol{\omega}_{u} & \boldsymbol{\omega}_{w} \times \boldsymbol{\omega}_{u} & \boldsymbol{\omega}_{w} \end{array}\right]
R=[ωuωw×ωuωw]
其中,
ω
w
∈
S
2
\boldsymbol{\omega}_w \in\mathcal{S}^{2}
ωw∈S2是一个单位向量,且与
ω
u
\boldsymbol{\omega}_u
ωu和
n
\boldsymbol{n}
n正交(也就是,
ω
w
=
ω
u
×
n
∥
ω
u
×
n
∥
\boldsymbol{\omega}_{w}=\frac{\boldsymbol{\omega}_{u} \times \boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{\omega}_{u} \times \boldsymbol{n}\|}
ωw=∥ωu×n∥ωu×n,当
ω
u
≠
n
\boldsymbol{\omega}_u \neq \boldsymbol{n}
ωu=n)。
这个椭球体的中心是:
c
=
q
+
1
−
α
2
2
α
r
ω
u
\mathbf{c}=\mathbf{q}+\frac{1-\alpha^{2}}{2 \alpha} r \omega_{u}
c=q+2α1−α2rωu
其中,
q
∈
R
3
\mathbf{q} \in \mathbb{R}^{3}
q∈R3是VPL的位置。
这个视图空间的椭球体使用一个旋转矩阵
R
^
=
V
R
\hat{\mathbf{R}}=\mathbf{V R}
R^=VR和一个中心位置
c
^
=
V
c
+
o
\hat{\mathbf{c}}=\mathbf{V} \mathbf{c}+\boldsymbol{o}
c^=Vc+o来表示,其中,3x3的矩阵
V
\mathbf{V}
V表示从世界空间到视图空间的旋转,
o
∈
R
3
\boldsymbol{o} \in \mathbb{R}^{3}
o∈R3表示从世界空间到视图空间的平移。该椭球体与截锥体的相交测试可等价地表示为球面与截锥体的相交测试,其方法是利用以下变换矩阵对空间进行拉伸:
S
=
R
^
[
1
r
u
0
0
0
1
r
v
0
0
0
1
r
w
]
R
^
T
\mathbf{S}=\mathbf{\hat{R}}\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{r_{u}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r_{v}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r_{w}} \end{array}\right] \mathbf{\hat{R}}^{T}
S=R^⎣⎡ru1000rv1000rw1⎦⎤R^T
B
=
{
[
b
x
∥
b
x
∥
b
z
×
b
x
∥
b
z
×
b
x
∥
b
z
∥
b
z
∥
]
T
(
∥
b
x
∥
>
∥
b
y
∥
)
[
b
y
×
b
z
∥
b
y
×
b
z
∥
b
y
∥
b
y
∥
.
b
z
∥
b
z
∥
]
T
(otherwise)
\mathbf{B}=\left\{\begin{array}{ll} {\left[\frac{\mathbf{b}_{x}}{\left\|\mathbf{b}_{x}\right\|} \quad \frac{\mathbf{b}_{z} \times \mathbf{b}_{x}}{\left\|\mathbf{b}_{z} \times \mathbf{b}_{x}\right\|}\right.} & \left.\frac{\mathbf{b}_{z}}{\left\|\mathbf{b}_{z}\right\|}\right]^{\mathrm{T}} \quad\left(\left\|\mathbf{b}_{x}\right\|>\left\|\mathbf{b}_{y}\right\|\right) \\ {\left[\frac{\mathbf{b}_{y} \times \mathbf{b}_{z}}{\left\|\mathbf{b}_{y} \times \mathbf{b}_{z}\right\|} \quad \frac{\mathbf{b}_{y}}{\left\|\mathbf{b}_{y}\right\|}\right.} & .\left.\frac{\mathbf{b}_{z}}{\left\|\mathbf{b}_{z}\right\|}\right]^{\mathrm{T}} \quad \text { (otherwise) } \end{array}\right.
B=⎩⎪⎨⎪⎧[∥bx∥bx∥bz×bx∥bz×bx[∥by×bz∥by×bz∥by∥by∥bz∥bz]T(∥bx∥>∥by∥).∥bz∥bz]T (otherwise)
其中,
b
x
=
S
[
1
0
0
]
T
\mathbf{b}_{x}=\mathbf{S}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right]^{\mathrm{T}}
bx=S[100]T,
b
y
=
S
[
0
1
0
]
T
\mathbf{b}_{y}=\mathbf{S}\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right]^{\mathrm{T}}
by=S[010]T,并且
b
z
=
b
x
×
b
y
\mathbf{b}_{z}=\mathbf{b}_{x} \times \mathbf{b}_{y}
bz=bx×by。旋转矩阵
B
\mathbf{B}
B用于使变换后的截椎体的深度平面与z轴保持垂直(如图7.c)。这就能让我们简化AABB的计算代码,并且计算一个对剪切后的截锥体包裹更紧密的AABB。在本文中,每一个光源的矩阵
B
S
\mathbf{BS}
BS和位置
B
S
c
^
\mathbf{BS\hat{c}}
BSc^被计算后都会存储到内存当中。然后,在光剔除阶段的椭球体-截锥体相交测试时,都会加载这些
B
S
\mathbf{BS}
BS和
B
S
c
^
\mathbf{BS\hat{c}}
BSc^。
对于由入射方向
ω
i
\boldsymbol{\omega}_i
ωi和法线
n
\boldsymbol{n}
n定义的平面来说,我们的包围椭球体可以很好地拟合。另一方面,对于方向
ω
w
\boldsymbol{\omega}_w
ωw(与这个平面正交)来说,包围椭球会非常松弛。这是因为微平面BRDF模型的反射瓣对于掠射入射方向(a grazing incoming direction[问题4])是各向异性的。因此,可能要减少半轴
r
w
r_w
rw的空间。此外,我们的包围椭球体没有考虑NDF的各向异性。尽管对于一个各向异性的NDF,包围椭球体可以通过最大的粗糙度来计算,但是这样会形成一个松弛的包围体。根据这种各向异性的反射来缩小包围椭球体也是我们未来的工作。
问题
问题1
如果用辐射率除以概率值的话,不就增强了光源的辐射率了吗?(概率值小于等于1)。这样是否会违背能量守恒定理?且分别将
L
(
ω
o
,
l
)
L\left(\boldsymbol{\omega}_{o}, l\right)
L(ωo,l)和
p
(
ω
o
,
l
)
p\left(\boldsymbol{\omega}_{o}, l\right)
p(ωo,l)带入后计算得出的
L
(
ω
o
,
l
)
≈
δ
L(\boldsymbol{\omega}_{o}, l) \approx\delta
L(ωo,l)≈δ!
a: 1、除以概率值是为了补偿被轮盘截断的光强;2、见上面公式推导
问题2
这个可分离是怎么分离的:
G
1
G_1
G1和
G
2
G_2
G2有什么关系,或者怎么将
G
1
G_1
G1用于GGX的BRDF?
a:详见阴影遮罩函数解析。
问题3
为什么是下界呢?
a:因为
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo和
ω
u
\boldsymbol{\omega}_u
ωu之间的夹角为
θ
\theta
θ,所以当
ω
i
\boldsymbol{\omega}_i
ωi、
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo和
ω
u
\boldsymbol{\omega}_u
ωu三者共面的时候,
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh和
n
n
n之间的夹角最小(为
θ
2
\frac{\theta}{2}
2θ);当
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo与
ω
i
\boldsymbol{\omega}_i
ωi、
ω
u
\boldsymbol{\omega}_u
ωu不共面时,
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh和
n
n
n之间的夹角就大于三者共面时的
θ
2
\frac{\theta}{2}
2θ,所以
θ
2
\frac{\theta}{2}
2θ就是下界。
思维错误原因:以前认为
θ
\theta
θ是一个固定值,所以
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh和
n
n
n之间的夹角最小值是能够为0的,因此
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh和
n
n
n之间的夹角肯定是可以小于这个固定值的。但是事实上
θ
\theta
θ是由
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo和
ω
u
\boldsymbol{\omega}_u
ωu确定的,其是一个可变量。但一旦确定了
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo和
ω
u
\boldsymbol{\omega}_u
ωu的方向,
θ
\theta
θ也就确定了,这个时候
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh的方向也就确定了,但是由于
ω
o
\boldsymbol{\omega}_o
ωo可以在球形圆上的任意位置,所以
ω
h
\boldsymbol{\omega}_h
ωh和
n
n
n之间的夹角大小是处在一个范围内的,这个下界就是这个范围的最小值。