R 中的非线性离散优化

我有一个简单的（实际上是经济学标准）非线性约束discreteR 中要解决的最大化问题，但遇到了麻烦。我找到了解决方案parts问题的一部分（非线性最大化；离散最大化），但不是所有问题的并集。

问题就在这里。消费者想要购买三种产品（凤梨、香蕉、饼干），知道价格并且预算为 20 欧元。他喜欢多样化（即，如果可能的话，他希望拥有所有三种产品），并且他的满意度随着消费量的增加而下降（他更喜欢他的第一块饼干，而不是他的第 100 块）。

他希望最大化的函数是

当然，由于每个人都有一个价格，而且他的预算有限，他在以下约束下最大化了这个功能：

我想做的是找到满足约束条件的最优购买清单（N 条香蕉，M 条香蕉，K 条饼干）。

如果问题是线性的，我会简单地使用 linprog::solveLP()。但目标函数是非线性的。 如果问题具有连续性，那么将有一个简单的分析解决方案。

这个问题是离散和非线性的，我不知道如何进行。

这里有一些可以玩的玩具数据。

df <- data.frame(rbind(c("ananas",2.17),c("banana",0.75),c("cookie",1.34)))
names(df) <- c("product","price")

我想要一个优化例程，为我提供 (N,M,K) 的最佳购买清单。

有什么提示吗？

1）没有包裹这可以通过暴力来完成。使用df从问题作为输入确保price是数字（它是df问题的）并计算最大的数字mx对于每个变量。然后创建网格g变量计数并计算total每个及相关的价格objective giving gg。现在排序gg按照目标的降序排列，并采取满足约束条件的解决方案。head将显示前几个解决方案。

price <- as.numeric(as.character(df$price))
mx <- ceiling(20/price)
g <- expand.grid(ana = 0:mx[1], ban = 0:mx[2], cook = 0:mx[3]) 
gg <- transform(g, total = as.matrix(g) %*% price, objective = sqrt(ana * ban * cook))
best <- subset(gg[order(-gg$objective), ], total <= 20)

giving:

> head(best) # 1st row is best soln, 2nd row is next best, etc.
     ana ban cook total objective
1643   3   9    5 19.96  11.61895
1929   3   7    6 19.80  11.22497
1346   3  10    4 19.37  10.95445
1611   4   6    5 19.88  10.95445
1632   3   8    5 19.21  10.95445
1961   2  10    6 19.88  10.95445

2) dplyr这也可以使用 dplyr 包很好地表达。使用g and price从上面：

library(dplyr)
g %>% 
  mutate(total = c(as.matrix(g) %*% price), objective = sqrt(ana * ban * cook)) %>%
  filter(total <= 20) %>%
  arrange(desc(objective)) %>%
  top_n(6)

giving:

Selecting by objective
  ana ban cook total objective
1   3   9    5 19.96  11.61895
2   3   7    6 19.80  11.22497
3   3  10    4 19.37  10.95445
4   4   6    5 19.88  10.95445
5   3   8    5 19.21  10.95445
6   2  10    6 19.88  10.95445