求解正规方程会给出与使用“lm”不同的系数？

我想使用以下方法计算一个简单的回归lm和普通矩阵代数。然而，我从矩阵代数获得的回归系数只有使用矩阵代数获得的回归系数的一半lm我不知道为什么。

这是代码

boot_example <- data.frame(
  x1 = c(1L, 1L, 1L, 0L, 0L, 0L, 0L, 0L, 0L),
  x2 = c(0L, 0L, 0L, 1L, 1L, 1L, 0L, 0L, 0L),
  x3 = c(1L, 0L, 0L, 1L, 0L, 0L, 1L, 0L, 0L),
  x4 = c(0L, 1L, 0L, 0L, 1L, 0L, 0L, 1L, 0L),
  x5 = c(1L, 0L, 0L, 0L, 0L, 1L, 0L, 1L, 0L),
  x6 = c(0L, 1L, 0L, 1L, 0L, 0L, 0L, 0L, 1L),
  preference_rating = c(9L, 7L, 5L, 6L, 5L, 6L, 5L, 7L, 6L)
  )
dummy_regression <- lm("preference_rating ~ x1+x2+x3+x4+x5+x6", data = boot_example)
dummy_regression

Call:
lm(formula = "preference_rating ~ x1+x2+x3+x4+x5+x6", data = boot_example)

Coefficients:
(Intercept)           x1           x2           x3           x4           x5           x6  
     4.2222       1.0000      -0.3333       1.0000       0.6667       2.3333       1.3333 

###The same by matrix algebra
X <- matrix(c(
c(1L, 1L, 1L, 0L, 0L, 0L, 0L, 0L, 0L), #upper var
c(0L, 0L, 0L, 1L, 1L, 1L, 0L, 0L, 0L), #upper var
c(1L, 0L, 0L, 1L, 0L, 0L, 1L, 0L, 0L), #country var
c(0L, 1L, 0L, 0L, 1L, 0L, 0L, 1L, 0L), #country var
c(1L, 0L, 0L, 0L, 0L, 1L, 0L, 1L, 0L), #price var
c(0L, 1L, 0L, 1L, 0L, 0L, 0L, 0L, 1L) #price var
), 
nrow = 9, ncol=6)

Y <- c(9L, 7L, 5L, 6L, 5L, 6L, 5L, 7L, 6L)

#Using standardized (mean=0, std=1) "z" -transformation Z = (X-mean(X))/sd(X) for all predictors
X_std <- apply(X, MARGIN = 2, FUN = function(x){(x-mean(x))/sd(x)})

##If constant shall be computed as well, uncomment next line 
#X_std <- cbind(c(rep(1,9)),X_std)

#using matrix algebra formula
solve(t(X_std) %*% X_std) %*% (t(X_std) %*% Y)

           [,1]
[1,]  0.5000000
[2,] -0.1666667
[3,]  0.5000000
[4,]  0.3333333
[5,]  1.1666667
[6,]  0.6666667

有人看到我的矩阵计算中的错误吗？

先感谢您！

lm没有进行标准化。如果你想通过以下方式获得相同的结果lm， 你需要：

X1 <- cbind(1, X)  ## include intercept

solve(crossprod(X1), crossprod(X1,Y))

#           [,1]
#[1,]  4.2222222
#[2,]  1.0000000
#[3,] -0.3333333
#[4,]  1.0000000
#[5,]  0.6666667
#[6,]  2.3333333
#[7,]  1.3333333

我不想重复我们应该使用crossprod。参见“后续”部分岭回归glmnet给出的系数与我通过“教科书定义”计算的系数不同？