MATLAB 求解方程问题

我想用以下方程求解MATLAB and 我相信存在非零解。方程为：

0.7071*x            + 0.7071*z = x 
  -0.5*x + 0.7071*y +    0.5*z = y
  -0.5*x - 0.7071*y +    0.5*z = z

我在 MATLAB 中写道：

[x,y,z]=solve('0.7071 * x+0.7071 * z=x','-0.5 * x+0.7071 * y+0.5 * z=y','-0.5 * x-0.7071 * y+0.5 * z=z');

但结果是 x = y = z = 0。 正如我所说，我确信有解决方案。有人可以帮忙吗？

您正在寻找一个不平凡的解决方案 v 到 A*v=v 且 v=[x;y;z] 和...

A =
   0.70710678118655                  0   0.70710678118655
  -0.50000000000000   0.70710678118655   0.50000000000000
  -0.50000000000000  -0.70710678118655   0.50000000000000

您可以将其转换为 (A-I)v=0，其中 I 是 3x3 单位矩阵。要找到一个重要的解决方案，您需要做的是检查 A-I 的零空间：

>> null(A-eye(3))

ans =

   0.67859834454585
  -0.67859834454585
   0.28108463771482

所以，你有一个一维零空间。否则您会看到不止一列。列的每个线性组合都是该零空间中的一个点，A-I 将其映射到零向量。因此，该向量的每个倍数都是您问题的解决方案。

实际上，你的矩阵 A 是第一类旋转矩阵，因为 det(A)=1 且 A'*A=identity。因此它的特征值为1，以旋转轴为对应的特征向量。我上面计算的向量是标准化旋转轴。

注意：为此，我用 sqrt(0.5) 替换了您的 0.7071。如果舍入误差是一个问题，但您事先知道必须有一个非平凡的解决方案，那么最好的选择是对 A-I 进行奇异值分解并选择最右边的奇异向量：

>> [u,s,v] = svd(A-eye(3));
>> v(:,end)

ans =

   0.67859834454585
  -0.67859834454585
   0.28108463771482

这样你就可以计算一个向量 v 来最小化 |A*v-v|在 |v|=1 的约束下，其中 |.|是欧几里得范数。