Outlines:
- Goals and strategy
- The simple condition
- The complex condition
Goals and strategy
Goals:
- Estimate the distribution of the test statistic(
T
) under the null hypothesis, thus the p-value of the observed test statistic(Tobs) is easy to get.
-
- When there are multiple tests, permutation test could account for the correcton for multiple testing;
Strategy:
- Rearrange the labels on the observed data points;
- This is on condition that: If the labels are exchangeable under the null hypothesis, then the resulting tests yield exact significance levels.
The simple condition[@wiki_Permutation_tests]
Questions:
See if the mean values of group A and B differ or not.(We don’t know the distribution of A and B)
Notations
sample size
nA,nB
,mean value
x¯A,x¯B
;
## $A
## [1] -0.34998424 0.79496994 0.16626749 0.62345697 0.31640182
## [6] 0.06934537 -0.26458933 0.23255516 1.59808657 -1.84554150
## [11] 0.40214946 0.97689181
##
## $B
## [1] 2.6513936 3.6293449 3.2774724 0.1550930 0.8845866 0.4786718 1.7699035
## [8] 1.4825841 1.3901246 2.3369900 3.4759334 1.9347075 2.2098590 0.3936378
## [15] 3.1333022
Algorithm of permutation test under the simple condition
- Calculate the observed value of
Tobs=x¯A−x¯B
using the original data;
- Pool the data,randomly pick
nA
samples for group A and
nB
for group B, calculate
T
;
- Repeat 2 for I times , thus get statistic
T1,...,TI
;
- p-value:
pobs=#{i:Ti>Tobs}I
;
Remarks:
-
I
is called the resolution of p-value, thus the bigger the better;
The complex condition
This figure is abstracted from the GWAS[@hirschhorn2005genome], intending to correct for multiple testing.
Notations
| notation |
meaning |
| i
i
’th sample |
| j
j
’th test |
| yi response variable for individual
i
:case=1,control=0 |
xi1,..,xiJ
J
predictor variables for individual i,respectively
m,n
number of cases and controls,respectively Data at location
j
| group |
response variable |
predictors |
| case |
y1=1
x11,..,x1J
… … … case
ym=1
xm1,..,xmJ
control
y(m+1)=0
x(m+1)1,..,x(m+1)J
… … … control
y(m+n)=0
x(m+n)1,..,x(m+n)J
Remarks: Those
xij
could be either scaler or vector; Algorithm of permutation test under the complex condition
- Calculate the observed value of
T˜∗={T∗1,T∗2,...,T∗J}
for
J
tests with the original data;
- Randomly shuffle yi,get permutation data
D
and calculate
T˜
;
- Repeat 2 for
I
times , thus get data D1,...,DI and corresponding statistic
T˜1,...,T˜I
;
- p-value for
j
’th test correcting for multiple test:
pj=#{i:Tij>T∗j}I;
References
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