MATLAB 中的广义特征向量？

有没有一种方法可以在特征值多重性高的情况下使用单个或至少很少的命令来获取广义特征向量？如果每个特征值的重数为 1，我可以使用[V,D] = eig(A)，但此命令不适用于多个特征值。

根据 Matlab 文档， [V,D] = eig(A,B) 生成广义特征值的对角矩阵 D 和全矩阵 V，其列是相应的特征向量，因此 A*V = B*V*D

这里有一个如何自己做的例子...首先我们输入一个样本矩阵 A：

 A = [ 35  -12   4   30 ;
       22   -8   3   19 ;
      -10    3   0   -9 ;
      -27    9  -3  -23 ]; 

然后我们探索它的特征多项式、特征值和特征向量。

 poly(A) 
 ans = 
     1.0000   -4.0000    6.0000   -4.0000    1.0000 

这些是特征多项式的系数，因此为 (λ − 1)^4 然后

 [V, D] = eigensys(A) 
 V = 
 [ 1, 0] 
 [ 0, 1] 
 [-1, 3] 
 [-1, 0] 


 D = 
 [1] 
 [1] 
 [1] 
 [1] 

因此 MATLAB 仅找到两个独立的特征向量

 w1 = [1  0  -1  -1]';     
 w2 = [0  1   3   0]'; 

与单个重数 4 特征值 λ=1 相关，因此具有缺陷 2。
所以我们建立4x4单位矩阵和矩阵B=A-λI

  Id = eye(4);        
  B = A - L*Id; 

当L=1时，当我们计算B^2和B^3时

  B2 = B*B      
  B3 = B2*B 

我们发现 B2 ≠ 0，但 B3 = 0，因此应该有一条长度为 3 的链与
特征值 λ = 1 。选择第一个广义特征向量

 u1 = [1  0  0  0]'; 

我们计算进一步的广义特征向量

 u2 = B*u1 
 u2 = 
     34 
     22 
    -10 
    -27 

and

 u3 = B*u2 
 u3 = 
     42 
      7 
    -21 
    -42 

因此，我们基于（普通）找到了长度为 3 的链 {u3, u2, u1} 特征向量 u3。 （为了使该结果与 MATLAB 的 eigensys 计算一致，您 可以检查 u3-42w1=7w2)