我有一组数据（位移与时间），我使用 optimization.leastsq 方法将其拟合到几个方程中。我现在正在寻找拟合参数的误差值。查看文档，输出的矩阵是雅可比矩阵，我必须将其乘以残差矩阵才能得到我的值。不幸的是，我不是统计学家，所以我有点被术语淹没了。
据我了解，我需要的是与我的拟合参数相匹配的协方差矩阵，因此我可以对对角线元素求平方根，以获得拟合参数的标准误差。我有一个模糊的记忆，读到协方差矩阵是 optimize.leastsq 方法的输出。它是否正确？如果不是，你将如何获得残差矩阵，将输出的雅可比行列式乘以得到我的协方差矩阵？
任何帮助将不胜感激。我对 python 很陌生，因此如果问题是一个基本问题，我深表歉意。
拟合代码如下：
fitfunc = lambda p, t: p[0]+p[1]*np.log(t-p[2])+ p[3]*t # Target function'
errfunc = lambda p, t, y: (fitfunc(p, t) - y)# Distance to the target function
p0 = [ 1,1,1,1] # Initial guess for the parameters
out = optimize.leastsq(errfunc, p0[:], args=(t, disp,), full_output=1)
args t 和 disp 是时间和位移值的数组（基本上只有 2 列数据）。我已经在代码顶部导入了所需的所有内容。输出提供的拟合值和矩阵如下：
[ 7.53847074e-07 1.84931494e-08 3.25102795e+01 -3.28882437e-11]
[[ 3.29326356e-01 -7.43957919e-02 8.02246944e+07 2.64522183e-04]
[ -7.43957919e-02 1.70872763e-02 -1.76477289e+07 -6.35825520e-05]
[ 8.02246944e+07 -1.76477289e+07 2.51023348e+16 5.87705672e+04]
[ 2.64522183e-04 -6.35825520e-05 5.87705672e+04 2.70249488e-07]]
无论如何，我怀疑目前的契合度还有些可疑。当我能够排除错误时，这一点将得到确认。
更新于 4/6/2016
让我们考虑拟合一个函数y=f(x)您有一组数据点(x_i, y_i, yerr_i), where i是一个遍历每个数据点的索引。
在大多数物理测量中，误差yerr_i是测量设备或程序的系统不确定度，因此可以将其视为不依赖于的常数i.
The optimize.leastsq方法将返回分数协方差矩阵。将该矩阵的所有元素乘以残差方差（即减少的卡方）并取对角线元素的平方根，即可估算出拟合参数的标准差。我已将执行此操作的代码包含在下面的函数之一中。
另一方面，如果你使用optimize.curvefit，上述过程的第一部分（乘以减少的卡方）是在幕后为您完成的。然后，您需要取协方差矩阵对角线元素的平方根，以获得拟合参数标准差的估计值。
此外，optimize.curvefit提供可选参数来处理更一般的情况，其中yerr_i每个数据点的值都不同。来自文档:
sigma : None or M-length sequence, optional
If not None, the uncertainties in the ydata array. These are used as
weights in the least-squares problem
i.e. minimising ``np.sum( ((f(xdata, *popt) - ydata) / sigma)**2 )``
If None, the uncertainties are assumed to be 1.
absolute_sigma : bool, optional
If False, `sigma` denotes relative weights of the data points.
The returned covariance matrix `pcov` is based on *estimated*
errors in the data, and is not affected by the overall
magnitude of the values in `sigma`. Only the relative
magnitudes of the `sigma` values matter.
确定拟合参数中标准误差的正确估计是一个复杂的统计问题。协方差矩阵的结果，由以下方法实现optimize.curvefit and optimize.leastsq实际上依赖于关于误差概率分布和参数之间相互作用的假设；可能存在的相互作用，具体取决于您的特定拟合函数f(x).
在我看来，处理复杂问题的最好方法是f(x)是使用 bootstrap 方法，该方法概述于这个链接.
首先，一些样板代码。让我们定义一个波浪线函数并生成一些带有随机误差的数据。我们将生成一个具有较小随机误差的数据集。
import numpy as np
from scipy import optimize
import random
def f( x, p0, p1, p2):
return p0*x + 0.4*np.sin(p1*x) + p2
def ff(x, p):
return f(x, *p)
# These are the true parameters
p0 = 1.0
p1 = 40
p2 = 2.0
# These are initial guesses for fits:
pstart = [
p0 + random.random(),
p1 + 5.*random.random(),
p2 + random.random()
]
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
xvals = np.linspace(0., 1, 120)
yvals = f(xvals, p0, p1, p2)
# Generate data with a bit of randomness
# (the noise-less function that underlies the data is shown as a blue line)
xdata = np.array(xvals)
np.random.seed(42)
err_stdev = 0.2
yvals_err = np.random.normal(0., err_stdev, len(xdata))
ydata = f(xdata, p0, p1, p2) + yvals_err
plt.plot(xvals, yvals)
plt.plot(xdata, ydata, 'o', mfc='None')
现在，让我们使用各种可用的方法来拟合该函数：
def fit_leastsq(p0, datax, datay, function):
errfunc = lambda p, x, y: function(x,p) - y
pfit, pcov, infodict, errmsg, success = \
optimize.leastsq(errfunc, p0, args=(datax, datay), \
full_output=1, epsfcn=0.0001)
if (len(datay) > len(p0)) and pcov is not None:
s_sq = (errfunc(pfit, datax, datay)**2).sum()/(len(datay)-len(p0))
pcov = pcov * s_sq
else:
pcov = np.inf
error = []
for i in range(len(pfit)):
try:
error.append(np.absolute(pcov[i][i])**0.5)
except:
error.append( 0.00 )
pfit_leastsq = pfit
perr_leastsq = np.array(error)
return pfit_leastsq, perr_leastsq
pfit, perr = fit_leastsq(pstart, xdata, ydata, ff)
print("\n# Fit parameters and parameter errors from lestsq method :")
print("pfit = ", pfit)
print("perr = ", perr)
# Fit parameters and parameter errors from lestsq method :
pfit = [ 1.04951642 39.98832634 1.95947613]
perr = [ 0.0584024 0.10597135 0.03376631]
def fit_curvefit(p0, datax, datay, function, yerr=err_stdev, **kwargs):
"""
Note: As per the current documentation (Scipy V1.1.0), sigma (yerr) must be:
None or M-length sequence or MxM array, optional
Therefore, replace:
err_stdev = 0.2
With:
err_stdev = [0.2 for item in xdata]
Or similar, to create an M-length sequence for this example.
"""
pfit, pcov = \
optimize.curve_fit(f,datax,datay,p0=p0,\
sigma=yerr, epsfcn=0.0001, **kwargs)
error = []
for i in range(len(pfit)):
try:
error.append(np.absolute(pcov[i][i])**0.5)
except:
error.append( 0.00 )
pfit_curvefit = pfit
perr_curvefit = np.array(error)
return pfit_curvefit, perr_curvefit
pfit, perr = fit_curvefit(pstart, xdata, ydata, ff)
print("\n# Fit parameters and parameter errors from curve_fit method :")
print("pfit = ", pfit)
print("perr = ", perr)
# Fit parameters and parameter errors from curve_fit method :
pfit = [ 1.04951642 39.98832634 1.95947613]
perr = [ 0.0584024 0.10597135 0.03376631]
def fit_bootstrap(p0, datax, datay, function, yerr_systematic=0.0):
errfunc = lambda p, x, y: function(x,p) - y
# Fit first time
pfit, perr = optimize.leastsq(errfunc, p0, args=(datax, datay), full_output=0)
# Get the stdev of the residuals
residuals = errfunc(pfit, datax, datay)
sigma_res = np.std(residuals)
sigma_err_total = np.sqrt(sigma_res**2 + yerr_systematic**2)
# 100 random data sets are generated and fitted
ps = []
for i in range(100):
randomDelta = np.random.normal(0., sigma_err_total, len(datay))
randomdataY = datay + randomDelta
randomfit, randomcov = \
optimize.leastsq(errfunc, p0, args=(datax, randomdataY),\
full_output=0)
ps.append(randomfit)
ps = np.array(ps)
mean_pfit = np.mean(ps,0)
# You can choose the confidence interval that you want for your
# parameter estimates:
Nsigma = 1. # 1sigma gets approximately the same as methods above
# 1sigma corresponds to 68.3% confidence interval
# 2sigma corresponds to 95.44% confidence interval
err_pfit = Nsigma * np.std(ps,0)
pfit_bootstrap = mean_pfit
perr_bootstrap = err_pfit
return pfit_bootstrap, perr_bootstrap
pfit, perr = fit_bootstrap(pstart, xdata, ydata, ff)
print("\n# Fit parameters and parameter errors from bootstrap method :")
print("pfit = ", pfit)
print("perr = ", perr)
# Fit parameters and parameter errors from bootstrap method :
pfit = [ 1.05058465 39.96530055 1.96074046]
perr = [ 0.06462981 0.1118803 0.03544364]
我们已经开始看到一些有趣的事情，所有三种方法的参数和误差估计几乎一致。那很好！
现在，假设我们想告诉拟合函数，我们的数据中存在一些其他不确定性，也许是系统不确定性，它会产生额外误差，其误差是err_stdev。那是a lot事实上，如果我们模拟一些带有这种错误的数据，它会看起来像这样：
在这种水平的噪声下，我们当然没有希望恢复拟合参数。
首先，让我们意识到leastsq甚至不允许我们输入这个新的系统错误信息。让我们看看是什么curve_fit当我们告诉它错误时：
pfit, perr = fit_curvefit(pstart, xdata, ydata, ff, yerr=20*err_stdev)
print("\nFit parameters and parameter errors from curve_fit method (20x error) :")
print("pfit = ", pfit)
print("perr = ", perr)
Fit parameters and parameter errors from curve_fit method (20x error) :
pfit = [ 1.04951642 39.98832633 1.95947613]
perr = [ 0.0584024 0.10597135 0.03376631]
什么？？这肯定是错误的！
这曾经是故事的结局，但最近curve_fit添加了absolute_sigma可选参数：
pfit, perr = fit_curvefit(pstart, xdata, ydata, ff, yerr=20*err_stdev, absolute_sigma=True)
print("\n# Fit parameters and parameter errors from curve_fit method (20x error, absolute_sigma) :")
print("pfit = ", pfit)
print("perr = ", perr)
# Fit parameters and parameter errors from curve_fit method (20x error, absolute_sigma) :
pfit = [ 1.04951642 39.98832633 1.95947613]
perr = [ 1.25570187 2.27847504 0.72600466]
这稍微好一些，但仍然有点可疑。curve_fit认为我们可以拟合出该噪声信号，误差水平为 10%p1范围。让我们看看是什么bootstrap不得不说：
pfit, perr = fit_bootstrap(pstart, xdata, ydata, ff, yerr_systematic=20.0)
print("\nFit parameters and parameter errors from bootstrap method (20x error):")
print("pfit = ", pfit)
print("perr = ", perr)
Fit parameters and parameter errors from bootstrap method (20x error):
pfit = [ 2.54029171e-02 3.84313695e+01 2.55729825e+00]
perr = [ 6.41602813 13.22283345 3.6629705 ]
啊，这也许是对拟合参数误差的更好估计。bootstrap认为它知道p1大约有 34% 的不确定性。
optimize.leastsq and optimize.curvefit为我们提供了一种估计拟合参数误差的方法，但我们不能在不质疑它们的情况下就使用这些方法。这bootstrap是一种使用蛮力的统计方法，在我看来，它在可能难以解释的情况下往往效果更好。
我强烈建议您查看一个特定问题并尝试curvefit and bootstrap。如果它们相似，那么curvefit计算成本要便宜得多，因此可能值得使用。如果它们差异很大，那么我的钱将花在bootstrap.