有一个很好的技巧可以计算给定浮点数的有理近似值（基于欧几里得 GCD 算法的一些属性）。我们可以用它来确定“最佳”近似是否具有以下形式A/(2^a 5^b)，如果是，则浮点数终止（以 10 为基数），如果不是，它将有一些重复组件。棘手的一点是确定哪个近似值是正确的（由于浮点精度问题）。
这就是如何获得近似有理式。
第一次迭代x = 1/x - floor(1/x)跟踪int(x)
x = 0.12341234
1/x = 8.102917
x <= 1/x - 8 = 0.102917
1/x = 9.7165
x <= 1/x - 9 = 0.71265277
1/x = 1.3956
x < 1/x - 1 = 0.3956
...
接下来将 x 的 int 部分粘贴到该表的顶行，称它们为 k_i。
价值A_i = A_{i-2} + k_i * A_{i-1}和同样的B_i.
|| 8 | 9 | 1 | 2 | 1 | 1 | 8 | 1 | 1
A = 1 0 || 1 | 9 | 10 | 29 | 39 | 68 | 583 | 651 | 1234
B = 0 1 || 8 | 73 | 81 | 235 | 316 | 551 | 4724 | 5275 | 9999
有理近似值为A_n/B_n.
1/8 = 0.12500000000000000 | e = 1.5e-3
9/73 = 0.12328767123287671 | e = 1.2e-4
10/81 = 0.12345679012345678 | e = 4.4e-5
29/235 = 0.12340425531914893 | e = 8.1e-6
39/316 = 0.12341772151898735 | e = 5.4e-6
68/551 = 0.12341197822141561 | e = 3.6e-7
583/4724 = 0.12341236240474174 | e = 2.2e-8
651/5275 = 0.12341232227488151 | e = 1.8e-8
1234/9999 = 0.12341234123412341 | e = 1.2e-9
因此，如果我们确定我们的误差在 1234/9999 阶段足够低，我们会注意到 9999 不能写成 2^a 5^b 的形式，因此我们的十进制扩展是重复的。
请注意，虽然这似乎需要很多步骤，但如果我们使用，我们可以获得更快的收敛速度x = 1/x - round(1/x)（并跟踪 round round(1/x)）。在这种情况下，该表将变为
8 10 -4 2 9 -2
1 0 1 10 -39 -68 -651 1234
0 1 8 81 -316 -551 -5275 9999
这会以更少的步骤为您提供先前结果的子集。
有趣的是，分数 A_i/B_i 始终使得 A_i 和 B_i 没有共同因子，因此您无需担心取消因子或类似的事情。
为了进行比较，我们看一下 x = 0.123 的展开式。我们得到的表是：
8 8 -3 -5
1 0 1 8 -23 123
0 1 8 65 -187 1000
那么我们的近似序列是
1/8 = 0.125 e = 2.0e-3
8/65 = 0.12307.. e = 7.6e-5
23/187 = 0.12299.. e = 5.3e-6
123/1000 = 0.123 e = 0
我们看到 123/1000 正是我们想要的分数，因为 1000 = 10^3 = 2^3 5^3 我们的分数即将终止。
如果您确实想找出分数的重复部分是什么（什么数字和什么周期），您需要做一些额外的技巧。这涉及对分母进行因式分解并找到最小的数字(10^k-1)考虑到所有这些因素（2 和 5 除外），那么 k 将是您的周期。因此，对于我们的顶级情况，我们发现 A = 9999 = 10^4-1 （因此 10^4-1 包含 A 的所有因子 - 我们在这里很幸运......）所以重复部分的周期是 4 .您可以找到有关最后部分的更多详细信息here.
该算法的最后一个重要方面是，它不需要所有数字将十进制扩展标记为重复。考虑 x = 0.34482，表格如下：
3 -10 -156
1 0 1 -10 .
0 1 3 -29 .
我们在第二个条目处得到一个非常准确的近似值并停在那里，得出的结论是我们的分数可能是 10/29（因为它在 1e-5 内使用），并且从上面链接中的表格我们可以看出它的周期将为 28数字。使用对号码的短版本进行字符串搜索永远无法确定这一点，这需要知道该号码的至少 57 位数字。
