三角测量和直接线性变换

按照 Hartley/Zisserman 的多视图几何算法 12：最佳三角测量方法 (p318)，我得到了相应的图像点 xhat1 和 xhat2（步骤 10）。在步骤11中，需要计算3D点Xhat。其中一种方法是直接线性变换 (DLT)，在 12.2 (p312) 和 4.1 (p88) 中提到。

齐次方法 (DLT)，p312-313，指出它找到一个解作为与 A 的最小奇异值相对应的单位奇异向量，因此，

A = [xhat1(1) * P1(3,:)' - P1(1,:)' ;
      xhat1(2) * P1(3,:)' - P1(2,:)' ;
      xhat2(1) * P2(3,:)' - P2(1,:)' ;
      xhat2(2) * P2(3,:)' - P2(2,:)' ];

[Ua Ea Va] = svd(A);
Xhat = Va(:,end);

plot3(Xhat(1),Xhat(2),Xhat(3), 'r.');

然而，A 是 16x1 矩阵，导致 Va 为 1x1。

在获取 3D 点时我做错了什么（以及修复方法）？

样本数据的价值：

xhat1 =

  1.0e+009 *

    4.9973
   -0.2024
    0.0027


xhat2 =

  1.0e+011 *

    2.0729
    2.6624
    0.0098


P1 =

  699.6674         0  392.1170         0
         0  701.6136  304.0275         0
         0         0    1.0000         0


P2 =

  1.0e+003 *

   -0.7845    0.0508   -0.1592    1.8619
   -0.1379    0.7338    0.1649    0.6825
   -0.0006    0.0001    0.0008    0.0010


A =    <- my computation

  1.0e+011 *

   -0.0000
         0
    0.0500
         0
         0
   -0.0000
   -0.0020
         0
   -1.3369
    0.2563
    1.5634
    2.0729
   -1.7170
    0.3292
    2.0079
    2.6624

Update算法中第 xi 部分的工作代码

% xi
A = [xhat1(1) * P1(3,:) - P1(1,:) ;
     xhat1(2) * P1(3,:) - P1(2,:) ;
     xhat2(1) * P2(3,:) - P2(1,:) ;
     xhat2(2) * P2(3,:) - P2(2,:) ];

A(1,:) = A(1,:)/norm(A(1,:));
A(2,:) = A(2,:)/norm(A(2,:));
A(3,:) = A(3,:)/norm(A(3,:));
A(4,:) = A(4,:)/norm(A(4,:));

[Ua Ea Va] = svd(A);
X = Va(:,end);
X = X / X(4);   % 3D Point

As is mentioned in the book (sec 12.2), p^{i T} are the rows of P. Therefore, you don't need to transpose P1(k,:) (i.e. the right formulation is A = [xhat1(1) * P1(3,:) - P1(1,:) ; ...).

我希望这只是一个错字。

此外，建议对每一行进行标准化A以其 L2 范数，即对于所有i

A(i,:) = A(i,:)/norm(A(i,:));

如果你想绘制三角测量的 3D 点，你必须标准化Xhat在绘图之前（否则毫无意义），即

Xhat = Xhat/Xhat(4);