《算法图解》第九章动态规划学习心得

1、背包问题

动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。每个动态规划都从一个网格开始，背包问题的网格如下：

网格最初是空的，动态规划就是逐步将网格填满。

吉他行

第一个单元格表示背包的容量为1磅。 吉他的重量也是1磅， 这意味着它能装入背包！ 因此这个单元格包含吉他， 价值为1500美元。 来看下一个单元格，这个单元格表示背包的容量为2磅， 完全能够装下吉他！这行的其他的单元格也是如此，因为你目前只能把吉他装入背包，其他两种商品还未出现，所以第一行变成下图：

注意：这行表示的是当前的最大价值。

 音响行

现在来到第二行，在每一行，可偷的商品都是当前行的商品和之前各行的商品。因此，当前你已经解锁了音响和吉他，但是笔记本电脑还未解锁。现在来看第一个单元格，它表示容量为1磅的背包。 在此之前， 可装入1磅背包的商品的最大价值为1500美元。 背包的容量为1磅， 能装下音响吗？ 音响太重了， 装不下！ 由于容量1磅的背包装不下音响， 因此最大价值依然是1500美元。 接下来的两个单元格的情况与此相同。 

现在来到了第四个单元格，也就是说背包容量为4磅，终于能装下音响，由于音响的价值为3000美元，比1500美元的吉他值钱多了，所以还是偷音响吧。

笔记本电脑行

下面以同样的方式处理笔记本电脑。 笔记本电脑重3磅， 没法将其装入容量为1磅或2磅的背包， 因此前两个单元格的最大价值还是1500美元。

对于容量为3磅的背包， 原来的最大价值为1500美元， 但现在你可选择盗窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他， 这样新的最大价值将为2000美元！

现在来到这个问题最关键的单元格，对于容量为4磅的背包，当前的最大价值为3000美元， 你可不偷音响， 而偷笔记本电脑， 但它只值2000美元。但是笔记本电脑的重量只有3磅， 背包还有1磅的容量没用！ 在1磅的容量中， 可装入的商品的最大价值之前计算过。根据之前计算的最大价值可知， 在1磅的容量中可装入吉他， 价值1500美元。于是有了下面的比较：

于是我们得到了最终的结果：

在这个过程中，我们填入单元格时用到了下面的公式：

2、背包问题FAQ

• 沿着一列往下走时， 最大价值有可能降低吗？

答案： 不可能。 每次迭代时， 你都存储当前的最大价值。 最大价值不可能比以前低！

• 行的排列顺序发生变化时结果将如何变化？

答案：没有变化。 也就是说， 各行的排列顺序无关紧要。

• 可以逐列而不是逐行填充网格吗？

答案：就这个问题而言， 这没有任何影响， 但对于其他问题， 可能有影响。

• 增加一件更小的商品将如何呢？

答案：单元格的按最小商品的重量划分。

• 可以偷商品的一部分吗？

答案：没法处理。 使用动态规划时， 要么考虑拿走整件商品， 要么考虑不拿， 而没法判断该不该拿走商品的一部分。

但使用贪婪算法可轻松地处理这种情况！ 首先， 尽可能多地拿价值最高的商品； 如果拿光了， 再尽可能多地拿价值次高的商品， 以此类推。

• 动态规划可以处理相互依赖的情况吗？

答案： 没办法建模。 动态规划功能强大， 它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。 但仅当每个子问题都是离散的， 即不依赖于其他子问题时， 动态规划才管用 。

• 计算最终的解时会涉及两个以上的子背包吗？

答案：根据动态规划算法的设计， 最多只需合并两个子背包， 即根本不会涉及两个以上的子背包。 不过这些子背包可能又包含子背包。

• 最优解可能导致背包没装满吗？

答案：完全可能。

3、动态规划的启发

• 动态规划可帮助你在给定约束条件下找到最优解。 在背包问题中，你必须在背包容量给定的情况下， 偷到价值最高的商品。
• 在问题可分解为彼此独立且离散的子问题时， 就可使用动态规划来解决。

要设计出动态规划解决方案可能很难， 这正是本节要介绍的。 下面是一些通用的小贴士。

• 每种动态规划解决方案都涉及网格。
• 单元格中的值通常就是你要优化的值。 在前面的背包问题中， 单元格的值为商品的价值。
• 每个单元格都是一个子问题， 因此你应考虑如何将问题分成子问题， 这有助于你找出网格的坐标轴。

4、小结

• 需要在给定约束条件下优化某种指标时， 动态规划很有用。
• 问题可分解为离散子问题时， 可使用动态规划来解决。
• 每种动态规划解决方案都涉及网格。
• 单元格中的值通常就是你要优化的值。
• 每个单元格都是一个子问题， 因此你需要考虑如何将问题分解为子问题。
• 没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式。

5、练习

• 假设你还可偷另外一件商品——MP3播放器， 它重1磅， 价值1000美元。 你要偷吗？

要。 在这种情况下， 你可偷来MP3播放器和iPhone和吉他， 总价值为4500美元。

• 假设你要去野营。 你有一个容量为6磅的背包， 需要决定该携带下面的哪些东西。 其中每样东西都有相应的价值， 价值越大意味着越重要：

                  水（重 3 磅， 价值 10 ） ；
                  书（重 1 磅， 价值 3 ）
                  食物（重 2 磅， 价值 9 ） ；
                  夹克（重 2 磅， 价值 5 ） ；
                  相机（重 1 磅， 价值 6 ） 。
   请问携带哪些东西时价值最高？
    你应携带水、 食物和相机。

• 请绘制并填充用来计算blue和clues最长公共子串的网格。