【数据结构初阶】第七节.树和二叉树的基本操作

// 树类
public class MyBinaryTree {
    // 结点类
    class TreeNode {
        public char val;  // 储存该结点的数值
        public TreeNode left; //左孩子的引用,即该结点的左子结点
        public TreeNode right; //右孩子的引用
 
        // 三种对树的结点的构造方法（每一种方法所传参数都是不同的）
        TreeNode() {
        }
        // 其实我们接下来用到的都是下面这一种构造方法，因为接下来我们只是在构造方法中给该结点赋值，至于该结点的左右子结点，我们是手动给他们建立联系的
        TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
 
        TreeNode(char val, TreeNode left, TreeNode right) {
            this.val = val;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
 
        @Override  // 重写toString方法，一般接下来能够之间打印树的结点
        public String toString() {
            return "TreeNode{" +
                    "val=" + val +
                    '}';
        }
    }
 
    // 其实这不是二叉树真正的构建方式，但我们的目的是快速构建一个二叉树，学习的二叉树的一些方法（这是我们的侧重点）
    // 至于真正的构建方法，我们之后的博客会讲到，本篇博客我们重点了解二叉树所对应的各种独特的方法
    public TreeNode createBinaryTree(){
        TreeNode node1 = new TreeNode('A');
        TreeNode node2 = new TreeNode('B');
        TreeNode node3 = new TreeNode('C');
        TreeNode node4 = new TreeNode('D');
        TreeNode node5 = new TreeNode('E');
        TreeNode node6 = new TreeNode('F');
        TreeNode root = node1;  // 我们采用了穷举法来快速的构建一棵二叉树
        node1.left = node2;
        node1.right = node3;
        node2.left = node4;
        node2.right = node5;
        node3.left = node6;
        return root;            // 返回我们构建树的根结点
    }
}

二、二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)

遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础；

大家想一下：在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱

但如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。

如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点

代码：
// 前序遍历
void preOrder(TreeNode root);
// 中序遍历
void inOrder(TreeNode root);
// 后序遍历
void postOrde(TreeNode root);

2.1 前序遍历

比如这样一棵树

它的前序遍历顺序就是：1->2->3->4->5->6；

对应的代码：
// 前序遍历——》根->左子树->右子树
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
代码解析：
前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)—访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。

我们利用递归解决问题的思想, 可以将一个问题拆解为子问题去解决, 也就是实现下面的过程:

访问根节点数据；

前序遍历左子树；

前序遍历右子树;

递归结束条件：如果结点root为空，则返回。

2.2 中序遍历

核心思想是一样的，只是顺序变了，先处理左子树，再处理左右子树所对应的根结点，最后再处理右子树;

对应代码：
// 中序遍历——》左子树—>根->右子树
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }
代码解析：

中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树;

和上面的实现思想相同, 只是访问根节点的时机不同;

中序遍历左子树；

访问根节点数据；

中序遍历右子树;

递归结束条件：如果结点root为空，则返回。

2.3 后序遍历

对应代码：
// 后续遍历——》左子树->右子树—>根
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }
代码解析：

同样的, 实现过程如下,

后序遍历左子树；

后序遍历右子树；

访问根结点数据;

递归结束条件：如果结点root为空，则返回。

2.4 层序遍历

定义：

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

对应代码：
 //层序遍历
    public void levelOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); // 我们需要借助一个队列，
        queue.offer(root); // 先把根结点放到队列中，根结点相当于是第一层
        while (!queue.isEmpty()) { 
            // 借助tmp来把当前结点的左右子树给放到队列中
            // 注意随着队列元素的不断弹出，tmp是在动态变化的，所以才能变量完——整棵二叉树
            TreeNode tmp = queue.poll();  // 因为这一层的元素入队列的时候，是通过上一层元素的对左右子树操作来实现的，入队列是一层一层入的
            System.out.print(tmp.val + " ");
            if (tmp.left != null) {
                queue.offer(tmp.left);  // 把当前从队列中弹出的结点的左子结点放到队列中
            }
            if (tmp.right != null) {
                queue.offer(tmp.right); // 右子结点
            }
        }
    }
代码解析：

首先我们需要借助一个队列；先把根结点放到队列中，根结点相当于是第一层；

层序遍历的实现方式与判断一棵二叉树是否是完全二叉树类似，都是使用队列来进行实现，只有一点不同, 入队时如果结点为空，则不需要入队，其他的地方完全相同, 出队时获取到节点中的元素, 直到最终队列和当前结点均为空时，表示遍历结束。

图示说明：

视频解析记录：二叉树02；（02：51：57）

三、其他一些常见操作

3.1 获取树中结点的个数

 // 获取树的结点的个数，遍历
    public static int nodeSize;
    void size2(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        ++nodeSize;
        size2(root.left);
        size2(root.right);
    }
代码解析：
由于节点的个数等于根节点(1) + 左子树节点个数 + 右子树节点个数；

先创立一个结点nodesize记录结点大小；

我们首先建立递归size2（）；当root==null时，说明此处没有结点；

递归结束条件: 如果结点root为空，则返回。

当root！=null时，说明此处有结点，所以nodesize++；

最后分别遍历左子树，右子树；最终得到结点的总个数；

视频解析记录：二叉树02；（47：30）；

递归的大致流程如图所示：

解法2：递归，转换为左右子问题求解:

// 获取树中节点的个数，子问题求解
    int size(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        int leftSize = size(root.left);  // 递归到root.left == null 开始返回:return 0;
        int rightSize = size(root.right);
        // 当leftSize和rightSize都第一次递归结束（即道理叶结点出，此时叶子结点的左右子节点都为空之间返回0，但你能说结点为0吗
        // 肯定不能虽然当前结点的左右子结点数目都为0，但别忘了当前结点也是算一个结点呀！！！所以要+1
        return leftSize + rightSize + 1;//加1是因为头结点也是一个结点
    }

图示解析：

视频解析定位：二叉树02；（52：35）

3.2 获取叶子结点的个数

// 遍历思路—获取叶子节点的个数
    public static int leafSize;
    // 因为getLeafNodeCount1函数中有递归，所以我们的nodeSize不能定义到函数里
    // （因为递归不断调用我们的函数，相当于会给nodeSize不断的赋初始值，所以我们对nodeSize累加的值会被冲掉
    int getLeafNodeCount1(TreeNode root){
        if (root == null) return 0;
        if (root.left == null && root.right == null) {
            ++leafSize;
        }
        getLeafNodeCount1(root.left); // 其实遍历也离不开递归
        getLeafNodeCount1(root.right);
        return leafSize;
    }
代码解析：

递归思路：

如果结点为空，表示该树没有结点返回0，

如果结点的左右子树都为空，表示该结点为叶子结点，计算器+1或者返回1。

一棵二叉树的叶子结点数为左右子树叶子结点数之和。（分别递归左右子树）

视频解析定位：二叉树02（01：09：26）

解法2：子问题思路
// 子问题思路-求叶子结点个数
    int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        if (root.left == null && root.right == null) return 1;//如果左右子树都为空的话，说明只有一个根节点，并且也是一个叶子结点；
        return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right); // 返回左子树的叶子结点的个数 + 右子树叶子结点的个数
    }
代码解析：

递归思路：

如果结点为空，表示该树没有结点返回0，

如果结点的左右子树都为空，表示该结点为叶子结点，计算器+1或者返回1。

一棵二叉树的叶子结点数为左右子树叶子结点数之和。（一起递归左右子树）

视频解析定位：二叉树02（01：20：12）

3.3 获取第k层结点的个数

// 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
        if (root == null) return 0;
        if (k == 1) return 1;
        return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
    }
代码解析：

递归思路：

如果结点为空，返回0，k为1，返回1。

一棵二叉树第k层结点数为左子树和右子树第k-1层次的结点数之和。

当k=1时，表示第一层次的结点个数，结点个数为1，每递归一层，从根节点来说是第k层, 那么相对于根节点的子树来说就是k-1层，所以一棵二叉树第k层结点数为左子树，右子树第k-1层次的结点数之和。

图示说明：

视频解析定位：二叉树02（01：44：03）

3.4 获取二叉树的高度

递归思路，二叉树天生就适合递归，因为二叉树的定义就用到了递归的概念 ;
 // 获取二叉树的高度——时间复杂度O(N)
    int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        // 下面这样写虽然对，但应为多递归了一次；在oj上可能超时
        //return (getHeight(root.left) > getHeight(root.right)) ? getHeight(root.left) + 1 : getHeight(root.right) + 1;
        // 所以这样写，用变量把我们递归的结果保存下来，这样在三目运算符？后就不用在重复的调用递归求高度了
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return (leftHeight > rightHeight) ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
        // 做左右子树的最大深度加1
    }
代码解析：

递归思路：

如果根结点为空，则这棵树的高度为0，返回0。

一棵二叉树的最深深度即为左右子树深度中较大的值加上1。

图示说明：

视频解析定位：二叉树02（01：56：29）

3.5 检测value结点是否存在

// 检测值为value的元素是否存在——转换为子问题
    TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if(root == null) return null;
        if(root.val == val) return root;
 
        TreeNode treeNode1 = find(root.left, val);
        TreeNode treeNode2 = find(root.right, val);
        if (treeNode1 == null) return treeNode2;
        else return treeNode1;
    }
代码解析：

通过遍历去搜索比较即可, 前中后序遍历都可以；

递归思路：

首先判断根节点是不是你要找的结点；

然后在左子树查找有没有你想要的结点；

然后查找右子树有没有你想要的结点；

图示说明：

视频解析定位：二叉树02（02：29：24）

3.6 判断二叉树是不是完全二叉树

//判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            if(cur == null) {
                break;
            }
            queue.offer(cur.left);
            queue.offer(cur.right);
        }
        //判断队列中是否有不为空的元素
        int size = queue.size();
        while(size != 0) {
            size--;
            if(queue.poll() != null) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
代码解析：

判断一棵树是不是完全二叉树，我们可以设计一个队列来实现；

完全二叉树按照从上至下, 从左到右的顺序节点之间是连续着没有空位置的, 这里如果有不了解的可以看一看二叉树概念篇的博客; 如果一颗二叉树不是完全二叉树 , 那么树中的节点之间是有空着的位置的(null); 只要找到这个位置, 后面再没有节点了就是完全二叉树; 如果空位置后面还有节点就不是完全二叉树;

我们可以设计一个队列来实现, 首先将根节点入队，然后循环每次将队头元素出队同时将出队节点的左右孩子结点（包括空结点）依次入队，以此类推，直到获取的结点为空(就是上面说的空位置)，此时判断队列中的所有元素是否为空，如果为空，就表示这棵二叉树为完全二叉树 ; 否则就不是完全二叉树；

图示说明：

视频解析定位：二叉树02（06:43）

四、完整的代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;
 
// 树类
public class MyBinaryTree {
    // 结点类
    class TreeNode {
        public char val;  // 储存该结点的数值
        public TreeNode left; //左孩子的引用,即该结点的左子结点
        public TreeNode right; //右孩子的引用
 
        // 三种对树的结点的构造方法（每一种方法所传参数都是不同的）
        TreeNode() {
        }
        // 其实我们接下来用到的都是这一种构造方法，因为接下来我们只是在构造方法中给该结点赋值，至于该结点的左右子结点，我们是手动给他们建立联系的
        TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
 
        TreeNode(char val, TreeNode left, TreeNode right) {
            this.val = val;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
 
        @Override  // 重写toString方法，一般接下来能够之间打印树的结点
        public String toString() {
            return "TreeNode{" +
                    "val=" + val +
                    '}';
        }
    }
 
    // 其实这不是二叉树真正的构建方式，但我们的目的是快速构建一个二叉树，学习的二叉树的一些方法（这是我们的侧重点）
    // 至于真正的构建方法，我们之后的博客会讲到，本篇博客我们重点了解二叉树所对应的各种独特的方法
    public TreeNode createBinaryTree(){
        TreeNode node1 = new TreeNode('A');
        TreeNode node2 = new TreeNode('B');
        TreeNode node3 = new TreeNode('C');
        TreeNode node4 = new TreeNode('D');
        TreeNode node5 = new TreeNode('E');
        TreeNode node6 = new TreeNode('F');
        TreeNode root = node1;  // 我们采用了穷举法来快速的构建一棵二叉树
        node1.left = node2;
        node1.right = node3;
        node2.left = node4;
        node2.right = node5;
        node3.left = node6;
        return root;            // 返回我们构建树的根结点
    }
    // 前序遍历——》根->左子树->右子树
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        System.out.print(root.val + " ");
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
    }
 
    // 中序遍历——》左子树—>根->右子树
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }
 
    // 后续遍历——》左子树->右子树—>根
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }
    // 获取树的结点的个数，遍历
    public static int nodeSize;
    void size2(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        ++nodeSize;
        size2(root.left);
        size2(root.right);
    }
    // 获取树中节点的个数，子问题求解
    int size(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        int leftSize = size(root.left);  // 递归到root.left == null 开始返回:return 0;
        int rightSize = size(root.right);
        // 当leftSize和rightSize都第一次递归结束（即道理叶结点出，此时叶子结点的左右子节点都为空之间返回0，但你能说结点为0吗
        // 肯定不能虽然当前结点的左右子结点数目都为0，但别忘了当前结点也是算一个结点呀！！！所以要+1
        return leftSize + rightSize + 1;
    }
 
    // 遍历思路—获取叶子节点的个数
    public static int leafSize;
    // 因为getLeafNodeCount1函数中有递归，所以我们的nodeSize不能定义到函数里
    // （因为递归不断调用我们的函数，相当于会给nodeSize不断的赋初始值，所以我们对nodeSize累加的值会被冲掉
    int getLeafNodeCount1(TreeNode root){
        if (root == null) return 0;
        if (root.left == null && root.right == null) {
            ++leafSize;
        }
        getLeafNodeCount1(root.left); // 其实遍历也离不开递归
        getLeafNodeCount1(root.right);
        return leafSize;
    }
    // 子问题思路-求叶子结点个数
    int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        if (root.left == null && root.right == null) return 1;
        return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right); // 返回左子树的叶子结点的个数 + 右子树叶子结点的个数
    }
 
    // 获取第K层节点的个数
    int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
        if (root == null) return 0;
        if (k == 1) return 1;
        return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
    }
 
    // 获取二叉树的高度——时间复杂度O(N)
    int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        // 下面这样写虽然对，但应为多递归了一次；在oj上可能超时
        //return (getHeight(root.left) > getHeight(root.right)) ? getHeight(root.left) + 1 : getHeight(root.right) + 1;
        // 所以这样写，用变量把我们递归的结果保存下来，这样在三目运算符？后就不用在重复的调用递归求高度了
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return (leftHeight > rightHeight) ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
        // 做左右子树的最大深度加1
    }
 
    // 检测值为value的元素是否存在——转换为子问题
    TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if(root == null) return null;
        if(root.val == val) return root;
 
        TreeNode treeNode1 = find(root.left, val);
        TreeNode treeNode2 = find(root.right, val);
        if (treeNode1 == null) return treeNode2;
        else return treeNode1;
    }
 
    //层序遍历
    public void levelOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) return;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); // 我们需要借助一个队列，
        queue.offer(root); // 先把根结点放到队列中，根结点相当于是第一层
        while (!queue.isEmpty()) {
            // 借助tmp来把当前结点的左右子树给放到队列中
            // 注意随着队列元素的不断弹出，tmp是在动态变化的，所以才能变量完——整棵二叉树
            TreeNode tmp = queue.poll();  // 因为这一层的元素入队列的时候，是通过上一层元素的对左右子树操作来实现的，入队列是一层一层入的
            System.out.print(tmp.val + " ");
            if (tmp.left != null) {
                queue.offer(tmp.left);  // 把当前从队列中弹出的结点的左子结点放到队列中
            }
            if (tmp.right != null) {
                queue.offer(tmp.right); // 右子结点
            }
        }
    }
 
    // 力扣oj题目——层序遍历，因为要求不同所以我们的具体做法有些不一样，但基本的思想相同
    public List<List<Character>> levelOrder1(TreeNode root) {
        List<List<Character>> ret = new ArrayList<>();
        if (root == null) return ret; //
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root); // 首先根结点先入队
        while (!queue.isEmpty()) {
            int size = queue.size(); // 第一层的size = 1;
            List<Character> ans = new ArrayList<>();
            while (size != 0) {
                TreeNode tmp = queue.poll();
                ans.add(tmp.val); // 把当前从栈中出来的元素放到我们定义的List中，因为是同一层的，在一个循环里的
                if (tmp.left != null) {
                    queue.offer(tmp.left);
                }
                if (tmp.right != null) {
                    queue.offer(tmp.right);
                }
                --size;
            }
            ret.add(ans);
        }
        return ret;
    }
}

五、测试代码

public class TestMyBinaryTree {
    public static void main(String[] args) {
        MyBinaryTree myBinaryTree = new MyBinaryTree();
        MyBinaryTree.TreeNode root = myBinaryTree.createBinaryTree();
        myBinaryTree.size2(root);
        System.out.println(MyBinaryTree.nodeSize);
 
        System.out.print("前序遍历的结果是：");
        myBinaryTree.preOrder(root); // 前序遍历
        System.out.println();
 
        System.out.print("中序遍历的结果是：");
        myBinaryTree.inOrder(root);   // 中序遍历
        System.out.println();
 
        System.out.print("后序遍历的结果是：");
        myBinaryTree.postOrder(root); // 后序遍历
        System.out.println();
 
        System.out.println("=========我是分割线=========");
        System.out.println("在树中，对B的查找结果是：" + myBinaryTree.find(root, 'B'));
        System.out.println("在树中，对d的查找结果是：" + myBinaryTree.find(root, 'd'));
        System.out.println("当前树中的最大深度为：" + myBinaryTree.getHeight(root));
 
        System.out.println("=========我是分割线=========");
        System.out.println("当前树中的结点个数是：" + myBinaryTree.size(root));
        System.out.println("当前树中的叶子结点个数：" + myBinaryTree.getLeafNodeCount1(root));
        System.out.println("当前树中第2层的结点个数为：" + myBinaryTree.getKLevelNodeCount(root, 2));
        System.out.print("层序遍历的结果为：");
        myBinaryTree.levelOrder(root);
    }
}

测试结果:

总结

今天的内容就介绍到这里，我们下一节内容再见！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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