1、单调性与极值
设
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内可导,若
,则
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
内单调增加(减少)
若
,则 f (x)在[a,b]内单调不减(单调不增)
极值:设函数 f(x)在(a,b)内有意义,
是(a,b)内的某一点,则如果存在一个点
的邻域,
使得对此邻域内的任一点x(x≠
),
若
,则称为函数 f(x)的一个极大值;
若
,则称为函数 f(x)的一个极小值;
称
为函数 f(x)的一个极值点。
极值可能存在于驻点(一阶导数为0的点)或者一阶导数不存在的点
极值判定:
第一充分条件:
且左右异号,左增右减极大值,左减右增极小值。
第二充分条件:
且
,
极大值,
极小值。
2、最大值与最小值
最值是函数在定义域或指定区间内的最大(最小)值。
求 f (x) 在上最大值和最小值方法:
①求出所有驻点和不可导点![x_1,x_2,x_3...x_k](https://latex.csdn.net/eq?x_1%2Cx_2%2Cx_3...x_k)
②计算
以及端点 f(a), f(b)
③比较大小
3、凹凸性与拐点
凹凸区间:在(a,b)内,若恒有
,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的; 若恒有
,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。
拐点即曲线由凹变凸或由凸变凹的分界点。
拐点存在于
的点或者二阶导数不存在的点
拐点判定:
第一充分条件:
且两侧异号,则
为拐点。
第二充分条件:
且
,则
为拐点。
4、渐近线
1)铅直渐近线
若
或
,则x=a为曲线y=f(x)的一条铅直渐近线。
2)水平渐近线
若
或
,则y=b为曲线y=f(x)的一条水平渐近线。
3)斜渐近线
若
,
或![\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x)}{x}=k\neq 0,\lim_{x\rightarrow -\infty }[f(x)-kx]=b](https://latex.csdn.net/eq?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20-%5Cinfty%20%7D%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bx%7D%3Dk%5Cneq%200%2C%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20-%5Cinfty%20%7D%5Bf%28x%29-kx%5D%3Db)
则y=kx+b为f(x)的斜渐近线。
5、曲率圆