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70. 爬楼梯

70. 爬楼梯

简介：这里是java的解法

描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

题目分析：

初一看感觉顺着正常从低到高的思维爬楼梯，方法随着楼层增加越来越多，没有头绪。

但是自上而下思考，我们可以想到n层只能是从n-1层和n-2层上来，那么我们就将问题理解为爬到n层的方法=爬到n-1层的方法+爬到n-2层的方法，逐渐递推，就是最终求1层和2层的方法。

1、将此递推公式在代码中实现：

int climbStairs(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n == 2) {
        return 2;
    }
    return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

看着还是挺简单的，可是在leecode上执行没通过！

看来是n比较大的时候程序执行时间太久超过限制了，在这里我们可以使用缓存来解决，思想是用空间换时间。

分析：

因为我们用树状图来画就能发现，其中有些分支被计算了多次，实际上只用计算一次将结果保存就行。比如下面的n-2和n-3就被计算了两次。

加缓存实现的代码

public int climbStairs(int n) {
    int[] memo = new int[n + 1];
    return climb(n, memo);
}

public int climb(int n, int[] memo) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n == 2) {
        return 2;
    }
    if (memo[n] > 0) {
        return memo[n];
    }
    memo[n] = climb(n - 1, memo) + climb(n - 2, memo);
    return memo[n];
}