多边形的面积

1 三角形面积

xy平面内，有三角形123，如下图所示：

图1

借助矢量叉积和点积，这个三角形的面积公式非常简单：

这个面积是有符号的：1、2、3逆时针排列，则面积为正；1、2、3顺时针排列，则面积为负。这是对右手系的总结，如果从背面看这个坐标系就成了左手系。在左手系下，面积的正负情况正好相反。所以，关于面积正负的准确说法应该是：1、2、3的排列顺序与方位角增加的方向一致，则面积为正；1、2、3的排列顺序与方位角增加的方向相反，则面积为负。

最后，上面的公式不够美观，来一个神来之笔：

2 多边形面积

假定某个多边形有n个顶点：1、2、3、……、n。现在任取一点C，它与n个顶点可以构成n个三角形：（C,1,2）、（C,2,3）、（C,3,4）、……、（C,n-1,n）、（C,n,1）。

现在把这些三角形的面积累积起来，就是多边形的面积了，即：

注意上面公式的最后一项为S（C,n,n+1）。顶点n+1超过了n，就转回去取值为1。

现在，把C点取为原点O，就可以得到多边形的面积公式如下：

上式中，应该取为。

多边形面积同样有正负，以下图为例。多边形有四个顶点1、2、3、4。23与14有交点P。

图2

面积1、2、P为正，面积3、4、P为负。两块面积相加，多边形的面积就是零了。所以使用计算多边形面积时，各条边一定不要有交点。

3 递推公式

假定拿着手持GPS一边走一边显示面积，那么这个公式就有点不太合适了。因为它每次都要计算n个顶点，随着顶点数n的增加其计算效率越来越低。此时，可以考虑使用递推公式。

假定表示顶点1、2、3、……、n围成的多边形面积，给多边形增加一个顶点n+1后其面积变为。则有：

可得多边形面积计算的递推公式如下：

上述递推公式要计算3个三角形的面积，为了简化计算，将C点取为1号顶点，则递推公式变为：

因为均为零，因此上式可简化为

做为递推公式，初始值很重要：

最终的递推公式为：

4 精度评定

拿着手持GPS测量了一圈面积，其测量误差能有多少？1亩地的面积测量误差就达到了1亩，那这个测量就没有什么实际意义了。

微分多边形面积公式，可以得到

注意上式中的请取为相邻点，同样的也应取为相邻点；。

根据误差传播率，可知：

假定顶点坐标的点位中误差为，且，则根据可知，代入上式，可得

两边开平方，可得多边形面积的精度

上式中的只与多边形的图形结构有关，也就是说：面积精度与多边形的图形结构是有关系的。

假定多边形为正方形，且边长为。则面积精度，面积相对精度。可见：测量的范围越大（即越大）则面积精度越低，但面积的相对精度越高。

假定多边形为正边形，且外接圆半径为。则圆心角，面积精度，面积相对精度。可见：测量的范围越大（即越大）则面积精度越低，但面积的相对精度越高。测量点越密集（即越大）则面积精度、面积相对精度越高。

结论：

1、面积精度与多边形的图形结构是有关系的；

2、测量的范围越大，面积精度越低，但面积的相对精度越高；

3、测量的顶点越密集，则面积精度和面积相对精度越高。