2023年1月12日 nige in Tongji University
#elecEngeneer
上链
斩流升压变换器，理想
V
o
=
1
1
−
D
V
i
>
V
i
V_o=\frac{1}{1-D}V_i\gt V_i
Vo=1−D1Vi>Vi
D：占空比，
D
∈
(
0
,
1
)
D\in (0, 1)
D∈(0,1)
图中 VD 指二极管，开关器件与二极管位置不可调换
因为二极管不能主动控制开启与关断
连续电流模式：CCM
分析假设：
分析手段：（适用于稳态分析）
传递能量的器件是电感
从电感电压->电感电流->电容电流->电容电压->开关电压->开关电流->二极管电压->二极管电流，最后画出一个开关周期中各电压电流的波形图
BOOST电路的两种工作状态：
电感电压在1状态下有：
v
L
=
V
i
(1)
v_L=V_i\tag{1}
vL=Vi(1)
在2状态下有：
v
L
=
V
i
−
V
o
(2)
v_L=V_i-V_o\tag{2}
vL=Vi−Vo(2)
通过电感磁链平衡，开关周期内电感电压平均值为0，得到输入电压与输出电压的关系：
D
T
s
V
i
=
−
(
1
−
D
)
T
s
(
V
i
−
V
o
)
D
V
i
=
−
V
i
+
V
o
+
D
V
i
−
D
V
o
V
o
=
1
1
−
D
V
i
\begin{align*} DT_sV_i &=- (1-D)T_s(V_i-V_o) \\ DV_i &= -V_i+V_o+DV_i-DV_o \\ V_o&= \frac{1}{1-D}V_i\tag{3} \end{align*}
DTsViDViVo=−(1−D)Ts(Vi−Vo)=−Vi+Vo+DVi−DVo=1−D1Vi(3)
加负号是因为
V
i
−
V
o
<
0
V_i-V_o\lt 0
Vi−Vo<0
电感电流平均值：
I
L
=
⟨
i
L
⟩
=
I
i
=
V
o
I
o
V
i
=
1
1
−
D
⋅
V
o
R
(4)
I_{L}=\langle i_L\rangle=I_i=\frac{V_oI_o}{V_i}=\frac{1}{1-D}\cdot\frac{V_o}{R}\tag{4}
IL=⟨iL⟩=Ii=ViVoIo=1−D1⋅RVo(4)
电感电流1状态下的斜率：
L
d
i
L
d
t
=
v
L
d
i
L
d
t
=
V
i
L
(5)
\begin{align*} L\frac{di_L}{dt} &=v_L \\ \\ \frac{di_L}{dt} &=\frac{V_i}{L} \end{align*} \tag{5}
LdtdiLdtdiL=vL=LVi(5)
在2状态下的斜率：
d
i
L
d
t
=
V
i
−
V
o
L
(6)
\frac{di_L}{dt} =\frac{V_i-V_o}{L}\tag{6}
dtdiL=LVi−Vo(6)
电感电流纹波：
Δ
i
L
=
1
L
∫
0
D
T
s
V
i
d
t
=
V
i
D
T
s
L
(7)
\Delta i_L=\frac 1 L\int_0^{DT_s}V_i \ dt=\frac{V_iDT_s}{L}\tag{7}
ΔiL=L1∫0DTsVi dt=LViDTs(7)
纹波幅值与负载电阻 R 无关
电容电流在1状态下有：
i
C
=
−
I
o
=
−
V
o
R
(8)
i_C=-I_o=-\frac{V_o}{R}\tag{8}
iC=−Io=−RVo(8)
在2状态下有：
i
C
=
i
L
−
I
o
(9)
i_C=i_L-I_o\tag{9}
iC=iL−Io(9)
电容电荷平衡，电流平均值为0：
⟨
i
C
⟩
=
0
\langle i_C \rangle=0
⟨iC⟩=0
发现电容可能在开关管关闭阶段提前结束充电并开始放电，设充完电时间为
D
T
s
+
k
(
1
−
D
)
T
s
DT_s+k(1-D)T_s
DTs+k(1−D)Ts
由相似三角形有：
k
(
1
−
D
)
T
s
i
L
m
a
x
−
I
o
=
(
1
−
k
)
(
1
−
D
)
T
s
i
L
m
i
n
−
I
o
\frac{k(1-D)T_s}{i_{Lmax}-I_o}=\frac{(1-k)(1-D)T_s}{i_{Lmin}-I_o}
iLmax−Iok(1−D)Ts=iLmin−Io(1−k)(1−D)Ts
解出
k
=
i
L
m
a
x
−
I
o
i
L
m
a
x
−
i
L
m
i
n
=
i
L
m
a
x
−
I
o
Δ
i
L
k=\frac{i_{Lmax}-I_o}{i_{Lmax}-i_{Lmin}}=\frac{i_{Lmax}-I_o}{\Delta i_L}
k=iLmax−iLminiLmax−Io=ΔiLiLmax−Io
其中
i
L
m
a
x
−
I
o
=
⟨
i
L
⟩
+
1
2
Δ
i
L
−
V
o
R
=
D
1
−
D
⋅
V
o
R
+
V
i
D
T
s
2
L
(10)
i_{Lmax}-I_o=\langle i_L \rangle+\frac 1 2\Delta i_L-\frac{V_o}{R} =\frac{D}{1-D}\cdot\frac{V_o}{R}+\frac{V_iDT_s}{2L}\tag{10}
iLmax−Io=⟨iL⟩+21ΔiL−RVo=1−DD⋅RVo+2LViDTs(10)
i
L
m
i
n
−
I
o
=
D
1
−
D
⋅
V
o
R
−
V
i
D
T
s
2
L
(11)
i_{Lmin}-I_o=\frac{D}{1-D}\cdot\frac{V_o}{R}-\frac{V_iDT_s}{2L}\tag{11}
iLmin−Io=1−DD⋅RVo−2LViDTs(11)
电压纹波：
Δ
u
C
=
1
C
∫
D
T
s
D
T
s
+
k
(
1
−
D
)
T
s
i
C
d
t
=
1
C
⋅
1
2
⋅
[
k
(
1
−
D
)
T
s
]
⋅
(
i
L
m
a
x
−
I
o
)
=
(
1
−
D
)
⋅
(
D
V
o
(
1
−
D
)
R
+
V
i
D
T
s
2
L
)
2
D
V
i
L
⋅
1
2
C
\begin{align*} \Delta u_C&=\frac 1 C\int_{DT_s}^{DT_s+k(1-D)T_s}i_C \ dt \\ \\ &=\frac 1 C\cdot\frac 1 2\cdot[k(1-D)T_s]\cdot(i_{Lmax}-I_o) \\ \\ &=(1-D)\cdot\frac{\Big( \frac{ DV_o}{(1-D)R}+\frac{V_iDT_s}{2L} \Big)^2} {\frac{DV_i}{ L}}\cdot\frac 1 {2C}\tag{12} \end{align*}
ΔuC=C1∫DTsDTs+k(1−D)TsiC dt=C1⋅21⋅[k(1−D)Ts]⋅(iLmax−Io)=(1−D)⋅LDVi((1−D)RDVo+2LViDTs)2⋅2C1(12)
若电容没有提前放电，即
i
L
m
i
n
−
I
o
>
0
i_{Lmin}-I_o\gt 0
iLmin−Io>0
2
L
R
T
s
>
(
1
−
D
)
2
\frac{2L}{RT_s}\gt (1-D)^2
RTs2L>(1−D)2
有：
Δ
u
C
=
1
C
∫
D
T
s
T
s
i
C
d
t
=
1
C
⋅
(
⟨
i
L
⟩
−
I
o
)
⋅
(
1
−
D
)
T
s
=
V
o
D
T
s
C
R
\begin{align*} \Delta u_C&=\frac 1 C\int_{DT_s}^{T_s}i_C \ dt \\ \\ &=\frac 1 C\cdot(\langle i_L\rangle-I_o)\cdot (1-D)T_s\\ \\ &=\frac{V_oDT_s}{CR}\tag{13} \end{align*}
ΔuC=C1∫DTsTsiC dt=C1⋅(⟨iL⟩−Io)⋅(1−D)Ts=CRVoDTs(13)
电感电流的纹波幅值与负载无关
电容电压的纹波幅值与负载有关
非连续电流模式：DCM
随着负载增加，由式（4）得，电感平均电流减小
由式（7）电感电流纹波幅值与负载无关，所以纹波平行下移
当电感电流为 0， 为临界断续模式
令无量纲参数
K
=
2
L
R
T
s
K=\frac{\large 2L}{\large RT_s}
K=RTs2L ，模式边界上的 K 临界值
K
c
r
i
t
(
D
)
=
D
(
1
−
D
)
2
K_{crit}(D)=D(1-D)^2
Kcrit(D)=D(1−D)2，有
K
<
K
c
r
i
t
(
D
)
K<K_{crit}(D)
K<Kcrit(D)为非连续导电模式
BOOST 与 BUCK 的无量纲参数相同
若以D为横轴，K为纵轴，则
K
c
r
i
t
(
D
)
K_{crit}(D)
Kcrit(D) 确定了一条曲线，若电路参数确定，则 K 确定，由 K 的值画条横线可以确定临界工作点（D,K）
曲线高于该 K 值的部分对应的横坐标占空比就是断续模式的占空比，反之是连续模式的占空比
同时，可以发现连续模式下，电容无提前放电的条件为无量纲参数
K
>
(
1
−
D
)
2
K\gt (1-D)^2
K>(1−D)2 ，而
(
1
−
D
)
2
>
D
(
1
−
D
)
2
(1-D)^2\gt D(1-D)^2
(1−D)2>D(1−D)2
显然，在断续模式下 电容总是提前放电的，且电感电流为0时电容电流正好降到输出电流
同理，也可以用负载电阻、负载电感等确定临界条件，如解出：
R
c
r
i
t
=
2
L
D
(
1
−
D
)
2
T
s
R_{crit}=\frac{2L}{D(1-D)^2T_s}
Rcrit=D(1−D)2Ts2L由于
D
(
1
−
D
)
2
D(1-D)^2
D(1−D)2 最大为 (0.333, 0.148)，所以最小负载
R
=
2
L
0.148
T
s
R=\frac{\large 2L}{\large 0.148 T_s}
R=0.148Ts2L 确定， 小于该负载 buck 在任何占空比下都处于连续模式
从电感电压->电感电流->电容电流->电容电压->开关电压->开关电流->二极管电压->二极管电流，最后画出一个开关周期中各电压电流的波形图
断续下的工作状态：
令
D
1
T
s
D_1T_s
D1Ts 为开关管导通时间，
D
2
T
s
D_2T_s
D2Ts 为开关管关闭且电感续流时间时间，
D
3
T
s
D_3T_s
D3Ts 为电感断续时间
D
1
+
D
2
+
D
3
=
1
D_1+D_2+D_3=1
D1+D2+D3=1
电感电压在
(
D
1
+
D
2
)
T
s
(D_1+D_2)T_s
(D1+D2)Ts 内和连续模式一样，断续时电感电压为0
电感电流在
(
D
1
+
D
2
)
T
s
(D_1+D_2)T_s
(D1+D2)Ts 内和连续模式一样，断续时电感电流为0
D
1
D_1
D1 是已知的
二极管Diode仅仅在
D
2
D_2
D2 阶段内有电流流过，且为电感电流
由于电容电荷平衡，开关周期内平均电流为0，所以二极管电流的平均值即为输出电流
I
o
I_o
Io
电感电流最大值
i
L
m
a
x
=
Δ
i
L
=
1
L
∫
0
D
1
T
s
V
i
d
t
=
V
i
D
1
T
s
L
i_{Lmax}=\Delta i_L=\frac 1 L\int_0^{D_1T_s}V_i \ dt=\frac{V_iD_1T_s}{L}
iLmax=ΔiL=L1∫0D1TsVi dt=LViD1Ts
输出电流为二极管电流平均值
I
o
=
I
R
=
1
2
⋅
D
2
T
s
⋅
i
L
m
a
x
⋅
1
T
s
=
V
i
D
1
D
2
T
s
2
L
=
V
o
R
(16)
I_o=I_R=\frac 1 2\cdot D_2T_s\cdot i_{Lmax}\cdot \frac 1 {T_s}=\frac{V_iD_1D_2T_s}{2L}=\frac{V_o}{R}\tag{16}
Io=IR=21⋅D2Ts⋅iLmax⋅Ts1=2LViD1D2Ts=RVo(16)
观察
i
C
i_C
iC ，由相似三角形有：
i
L
m
a
x
−
I
R
k
D
2
T
s
=
Δ
i
L
D
2
T
s
\frac{i_{Lmax}-I_R}{kD_2T_s}=\frac{\Delta i_L}{D_2T_s}
kD2TsiLmax−IR=D2TsΔiL
解出过零点在
D
2
T
s
D_2T_s
D2Ts 内所占比例：
k
=
1
−
D
2
2
k=1-\frac{D_2}{2}
k=1−2D2
由电感秒伏平衡有：
D
1
T
s
V
i
=
−
D
2
T
s
(
V
i
−
V
o
)
V
o
V
i
=
D
1
+
D
2
D
2
D
2
=
D
1
V
o
V
i
−
1
\begin{align*} D_1T_sV_i&=-D_2T_s(V_i-V_o)\\ \\ \frac{V_o}{V_i}&=\frac{D_1+D_2}{D_2}\tag{17} \\ \\ D_2 &=\frac{D_1}{\frac{\large V_o}{\large V_i}-1}\tag{18} \end{align*}
D1TsViViVoD2=−D2Ts(Vi−Vo)=D2D1+D2=ViVo−1D1(17)(18)
由于
D
1
+
D
2
D
2
=
1
1
−
D
1
[
(
1
−
D
1
)
(
D
1
+
D
2
)
D
2
]
=
1
1
−
D
1
[
D
1
(
1
−
D
1
D
2
−
1
)
+
1
]
b
e
c
a
u
s
e
D
1
+
D
2
<
1
s
o
D
2
<
1
−
D
1
1
−
D
1
D
2
>
1
s
u
c
h
t
h
a
t
1
−
D
1
D
2
−
1
>
0
D
1
(
1
−
D
1
D
2
−
1
)
+
1
>
1
D
1
+
D
2
D
2
>
1
1
−
D
1
\begin{align*} \frac{D_1+D_2}{D_2}&=\frac{1}{1-D_1}\Big[\frac{(1-D_1)(D_1+D_2)}{D_2}\Big] \\ \\ &=\frac{1}{1-D_1}\Big[D_1(\frac{1-D_1}{D_2}-1)+1\Big]\\ \\ because \ D_1+D_2&\lt1\\ so \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D_2 &\lt 1-D_1 \\ \frac{1-D_1}{D_2}&\gt 1 \\ such \ that \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{1-D_1}{D_2}-1 &\gt 0 \\ D_1(\frac{1-D_1}{D_2}-1)+1&\gt 1 \\ \frac{D_1+D_2}{D_2}&\gt\frac{1}{1-D_1} \end{align*}
D2D1+D2because D1+D2so D2D21−D1such that D21−D1−1D1(D21−D1−1)+1D2D1+D2=1−D11[D2(1−D1)(D1+D2)]=1−D11[D1(D21−D1−1)+1]<1<1−D1>1>0>1>1−D11
所以输出电压是要比连续模式时候 大 的
代式（18）入（16）有：
(
V
o
V
i
)
2
−
V
o
V
i
−
D
1
K
=
0
(\frac{V_o}{V_i})^2-\frac{V_o}{V_i}-\frac{D_1}{K}=0
(ViVo)2−ViVo−KD1=0
舍去负值解得：
V
o
V
i
=
1
2
(
1
+
1
+
2
D
1
2
R
T
s
L
)
(19)
\frac{V_o}{V_i}=\frac 1 2\Big(1+\sqrt{1+\frac{2D_1^2RT_s}{L}} \ \Big)\tag{19}
ViVo=21(1+1+L2D12RTs
)(19)
发现输出电压不仅与占空比有关，还与电路参数有关。若把电压增益用 M 表示，代入无量纲参数 K，有：
M
=
{
1
1
−
D
1
,
K
>
K
c
r
i
t
1
2
(
1
+
1
+
4
D
1
2
K
)
,
K
<
K
c
r
i
t
(20)
M= \begin{cases} \frac{\large 1}{\large 1-D_1} \ , & K\gt K_{crit} \\[3ex] \frac {\large1} {\large2}\Big(1+\sqrt{1+\frac{\large 4D_1^2}{\large K}} \ \Big) , & K\lt K_{crit} \end{cases} \tag{20}
M=⎩
⎨
⎧1−D11 ,21(1+1+K4D12
),K>KcritK<Kcrit(20)
由式（16）有：
M
=
D
1
D
2
K
(21)
M=\frac{D_1D_2}{K}\tag{21}
M=KD1D2(21)
联立式（18）有：
D
1
=
K
M
(
M
−
1
)
D
2
=
M
K
(
M
−
1
)
(22)
\begin{align*} D_1&=\sqrt{KM(M-1)} \\ \\ D_2&=\sqrt{\frac{MK}{(M-1)}} \end{align*}\tag{22}
D1D2=KM(M−1)
=(M−1)MK
(22)
当
4
D
1
2
K
≫
1
\frac{4D_1^2}{K} \gg 1
K4D12≫1 ，式（20）近似为线性函数
M
=
1
2
+
D
1
K
(23)
M=\frac 1 2+\frac{D_1}{\sqrt K}\tag{23}
M=21+K
D1(23)
输出电压纹波
Δ
u
C
=
1
C
∫
D
1
T
s
(
D
1
+
k
D
2
)
T
s
i
C
d
t
=
1
C
⋅
k
D
2
T
s
2
⋅
(
i
L
m
a
x
−
I
R
)
=
(
1
−
D
2
2
)
2
⋅
D
2
T
s
2
C
⋅
i
L
m
a
x
\begin{align*} \Delta u_C&=\frac 1 C\int_{D_1T_s}^{(D_1+kD_2)T_s}i_C \ dt=\frac 1 C\cdot\frac{kD_2T_s}{2}\cdot(i_{Lmax}-I_R) \\ \\ &=(1-\frac{D_2}{2})^2\cdot\frac{D_2T_s}{2C}\cdot i_{Lmax} \tag{24} \end{align*}
ΔuC=C1∫D1Ts(D1+kD2)TsiC dt=C1⋅2kD2Ts⋅(iLmax−IR)=(1−2D2)2⋅2CD2Ts⋅iLmax(24)
设计占空比 -> 设计开关频率 -> 选择电感 -> 求输出电流、电流纹波 -> 选择电容
由电感电流临界断续条件有：
⟨
i
L
⟩
=
1
1
−
D
⋅
V
o
R
>
1
2
Δ
i
L
=
V
i
D
T
s
2
L
\langle i_{L}\rangle=\frac{1}{1-D}\cdot\frac{V_o}{R}\gt\frac 1 2\Delta i_L=\frac{V_iDT_s}{2L}
⟨iL⟩=1−D1⋅RVo>21ΔiL=2LViDTs
所以保证电流连续的最小电感
L
>
D
(
1
−
D
)
2
R
T
s
2
(25)
L\gt \frac{D(1-D)^2RT_s}{2}\tag{25}
L>2D(1−D)2RTs(25)
若要通过纹波大小确定，有：
L
=
V
i
D
T
s
Δ
i
L
(26)
L=\frac{V_iDT_s}{\Delta i_L}\tag{26}
L=ΔiLViDTs(26)
确定电感后，连续模式下由输出电压纹波（12）（13）大小确定电容
电容无提前放电：
C
=
V
o
D
T
s
Δ
V
o
R
(27)
C=\frac{V_oDT_s}{\Delta V_oR}\tag{27}
C=ΔVoRVoDTs(27)
电容有提前放电：
C
=
(
1
−
D
)
⋅
(
D
V
o
(
1
−
D
)
R
+
V
i
D
T
s
2
L
)
2
D
V
i
L
⋅
1
2
Δ
V
o
(28)
C=(1-D)\cdot\frac{\Big( \frac{ DV_o}{ (1-D)R}+\frac{V_iDT_s}{2L} \Big)^2} {\frac{ DV_i}{ L}}\cdot\frac 1 {2\Delta V_o}\tag{28}
C=(1−D)⋅LDVi((1−D)RDVo+2LViDTs)2⋅2ΔVo1(28)
断续模式下（
D
3
T
s
D_3T_s
D3Ts 时间段）器件的受压并未升高，所以按照了连续模式选择即可
实际上为[[1. DC-DC分析概述]]中的时间平均等效电路法
建立的模型为 CCM理想大信号平均模型
在理想BOOST电路上电感串联一电阻
R
L
R_L
RL ，作为电感绕组电阻
一个开关周期内平均电感电压：
⟨
v
L
⟩
=
0
=
V
i
−
I
i
R
L
−
⟨
v
S
⟩
(29)
\langle v_L\rangle = 0=V_i-I_iR_L-\langle v_S\rangle\tag{29}
⟨vL⟩=0=Vi−IiRL−⟨vS⟩(29)
由连续模式分析可知
⟨
v
S
⟩
=
(
1
−
D
)
T
s
V
C
T
s
=
(
1
−
D
)
V
C
\langle v_S\rangle=\frac{(1-D)T_sV_C}{T_s}=(1-D)V_C
⟨vS⟩=Ts(1−D)TsVC=(1−D)VC
平均电容电流：
⟨
i
C
⟩
=
0
=
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
−
V
C
R
(30)
\langle i_C \rangle=0=\langle i_{Diode} \rangle-\frac{V_C}{R}\tag{30}
⟨iC⟩=0=⟨iDiode⟩−RVC(30)
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
=
⟨
i
L
⟩
(
1
−
D
)
T
s
T
s
=
(
1
−
D
)
I
i
\langle i_{Diode} \rangle=\frac{\langle i_L \rangle(1-D)T_s}{T_s}=(1-D)I_i
⟨iDiode⟩=Ts⟨iL⟩(1−D)Ts=(1−D)Ii
两个方程可分别画出等效直流变压器的原边和副边回路
输出电压：
V
C
=
V
i
1
−
D
⋅
R
R
+
R
L
(
1
−
D
)
2
(31)
V_C=\frac{V_i}{1-D}\cdot\frac{R}{R+\frac{ R_L}{ (1-D)^2}}\tag{31}
VC=1−DVi⋅R+(1−D)2RLR(31)
考虑电感铜损耗后的效率：
η
=
P
o
u
t
P
i
n
=
V
o
(
1
−
D
)
I
i
V
i
I
i
=
R
R
+
R
L
(
1
−
D
)
2
(32)
\eta=\frac{P_{out}}{P_{in}}=\frac{V_o(1-D)I_i}{V_iI_i}=\frac{R}{R+\frac{R_L}{ (1-D)^2}} \tag{32}
η=PinPout=ViIiVo(1−D)Ii=R+(1−D)2RLR(32)
低占空比时效率通常很高，但占空比接近于 1 时效率接近 0
为方便后续分析，可以将两个受控源连在一起
