行列式要求 

 要计算行列式，那么这个矩阵一定是一个方阵

行列式性质

1. 行列式转置后值不变
2. 互换行列式中两行，值变为相反数
3. 行列式中两行成比例，行列式为0
4. 行列式中一行所有元素乘以一个数后加到另一行，行列式值不变 

行列式的计算有很多方法：

矩阵的行列式

矩阵的行列式是一个可以从方形矩阵（方阵）计算出来的特别的数。

矩阵是数的排列：

这矩阵的行列式是

3×6 − 8×4 = 18 − 32 = −14

符号

行列式的符号是每边一条垂直线。

例子：

|A|代表矩阵 A的行列式

计算行列式

首先，矩阵一定要是方形矩阵（就是，行和列的数目相同）。计算方法其实很简单，只不过是基本的算术，如下：

2×2 矩阵

2×2 矩阵 （2行和2列）：

行列式是：

|A| = ad - bc
"A 的行列式等于 a 乘 d 减 b 乘 c"

把公式记住的窍门是想：十字乘法： 蓝色 是 正 （+ad） 红色 是 负 （-bc）

例子：

|B|	= 4×8 - 6×3
	= 32-18
	= 14

3×3 矩阵

3×3 矩阵 （3行和3列）：

行列式是：

|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
"A 的行列式等于。。。。。。"

乍看很复杂，但这是有规律的：

求 3×3 矩行列式：

• 把 a 乘以不在 a 的行或列上的 2×2 矩阵的行列式。
• 以 b 和 c 也做相同的计算
• 把结果加在一起，不过 b 前面有个负号！

公式是（记着两边的垂直线 || 代表 "的行列式"）：

"A 的行列式等于 a 乘 。。。。。。的行列式。。。。。。"

例子：

|C|	= 6×(-2×7 - 5×8) - 1×(4×7 - 5×2) + 1×(4×8 - -2×2)
	= 6×(-54) - 1×(18) + 1×(36)
	= -306

4×4 和更大的矩阵

同一规律也适用于 4×4 矩阵：

• 加：a 乘以 不在 a 的行或列 的矩阵 的行列式，
• 减：b 乘以 不在 b 的行或列 的矩阵 的行列式，
• 加：c 乘以 不在 c 的行或列 的矩阵 的行列式，
• 减：d 乘以 不在 d 的行或列 的矩阵 的行列式，

公式是：

留意 + - + - 的规律（+a 。。。-b 。。。+c 。。。-d 。。。）。 这很重要，要牢记。

 

同样的规律也适用于5×5 和更大的矩阵，但通常最好是用矩阵计算器来处理大的矩阵！

 

案例计算：

1、将矩阵化简成为三角矩阵：

 使用matab 验证：

 2、使用代数余子式：

 

 3、使用分解

 

 4、范德蒙行列式

克莱姆法则

条件：方程的个数等于未知数的个数

 matlab: 

>> D = [1 1 1 ; 1 -1 5;-1 1 6 ]

D =

     1     1     1
     1    -1     5
    -1     1     6

>> det_d=det(D)

det_d =

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