数学：凸包算法详解

一.概念：

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，…Xn)的线性组合来构造.
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。
例子：假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图：

二.解法：
Graham扫描法

时间复杂度：O(n㏒n)
思路：Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序，然后对其查询使用。

步骤：

1. 把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
2. 把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。

现将所有的点按照纵坐标从小到大排序 如果中坐标相同 则按照横坐标从小到大排序

1. 计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
   （以上是准备步骤，以下开始求凸包）
   以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：

计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序

• 除了p0之外的其他点 排序
• 计算其他点和p0的向量叉积
• 从左到右排序

1. 连接 栈顶下的第一个点 和 栈顶 的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边（利用叉积判断位置）。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。

连接 栈顶下的第一个点 和 栈顶的那个点,得到向量 l1
连接 栈顶下的第一个点 和 当前点,得到向量 l2
计算向量叉积 l1xl2 ：

• 如果大于0 则当前点在直线L 的左边
• 如果等于0 则当前点在直线L上
• 如果小于0 则当前点在直线L 的右边

1. 如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
2. 当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
3. 检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。

最后，栈中的元素就是凸包上的点了。
　　以下为用Graham扫描法动态求解的过程：

下面静态求解过程

三.模板

/*
author: 熊谦智
题目描述：
涉及算法：凸包算法 
link: https://www.cnblogs.com/aiguona/p/7232243.html
*/

#include<iostream>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
struct Node{
  int x, y;
};
Node a[N];
Node node;
double distance(const Node& node1, const Node& node2) {
  return sqrt((node1.x-node2.x)*(node1.x-node2.x)+(node1.y-node2.y)*(node1.y-node2.y));
}
int vector_product(const Node& node1, const Node& node2, const Node& node3, const Node& node4) {
  //(node1,node2) x (node1,node3) 的向量叉积
  return (node2.x-node1.x)*(node4.y-node3.y)-(node2.y-node1.y)*(node4.x-node3.x); 
}
int cross(node a,node b,node c)//计算叉积  ---- 计算(a,b) x (a,c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
bool cmp3(Node a,Node b)//极角排序另一种方法，速度快
{
    if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))
        return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));
    return a.x<b.x;
}

bool cmp1(const Node& node1, const Node& node2) { // 单纯的对点进行排序 
  if (node1.y == node2.y) return node1.x < node2.x;
  return node1.y < node2.y;
}
bool cmp2(const Node& node1, const Node& node2) { // 极角排序 

  int m = vector_product(node,node1,node,node2) ;
  if (m > 0) {  // 理解叉积正负的意义 -- 右手定则 
    return true;
  } else if (m == 0) {
    double l1 = distance(node,node1);
    double l2 = distance(node,node2); // 如果在同一条线上按照距离从小到大排序 
    return l1 < l2;
  } else {
    return false;
  }
  
//  if(m==0)
//    return dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0?true:false;
//  else
//    return m>0?true:false;
}

int main() {
  int n;
  while (cin >> n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      cin >> a[i].x >> a[i].y;
    }
    sort(a,a+n,cmp1);
    vector<Node> v(n); //vertor 充当 stack  
    node = a[0];
    int top = 0;
    v[top++] = a[0];
    sort(a+1,a+n,cmp2);
    v[top] = a[1];
    for (int i = 2; i < n; i++) {
//      while (top > 0 && vector_product(v[top-1],v[top],v[top-1],a[i]) < 0) {
//        top--;
//      }
      while (top > 0 && cross(v[top-1],v[top],a[i]) < 0) {
        top--;
      }
      v[++top] = a[i];
    }
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i <= top; i++) {
      cout << v[i].x << " " << v[i].y << endl;
      if (i != top) {
        sum += distance(v[i],v[i+1]); 
      } else {
        sum += distance(v[i],v[0]); //最后一个点和第一个点之间的距离
      }
    }
    printf ("%.2f\n",sum) ;
  }
}
/*
Please input the size: 
8

1 0

0 1

0 -1

-1 0

2 0

0 2

0 -2

-2 0

输出：(凸包顶点坐标)

0  -2

2  0

0  2

-2 0
*/

总结

在图形学中，凸包是一个非常重要的概念。简明的说，在平面中给出N个点，找出一个由其中某些点作为顶点组成的凸多边形，恰好能围住所有的N个点。该凸包算法又叫Graham Scan法。点排序时间复杂度O(nlogn)， 检查每个点O(n)， 综合时间复杂度O(nlogn).

参考链接：
https://www.cnblogs.com/aiguona/p/7232243.html
https://blog.csdn.net/qq_39747794/article/details/81563346
https://blog.csdn.net/bone_ace/article/details/46239187