矩阵、行列式差异
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矩阵 |
行列式 |
| 运算结果 |
可看成一个表格 |
可看成一个数 |
| 行列数 |
可以不等 |
必须相等 |
| 两个矩阵（或行列式）相等 |
每个元素对应相等 |
结果相等即可 |
| 相加 |
各对应元素相加 |
一行（或列）元素相加 |
| 数乘矩阵 |
常数k乘每个元素 |
常数k乘一行（或列） |
| 交换两行（或列） |
不变号 |
变号 |
| 行（或列）×k加至另一行（或列） |
不变号 |
| 初等变换 |
秩不变 |
数值可能改变 |
| 矩阵（行列式）某行乘菲0常数k |
秩不变 |
数值改变 |
行列式
初等变换：
1）行变换：交换两行（列）。
2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素乘以常数k。
3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以非零常数k并加到另一
行（列）的对应元素上。
性质：
1）行列互换，行列式不变，得出转置行列式（即行列式转置，值不变）
2）行列式两行相同，行列式为0
3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个
行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样
4）行列式中两行成比例，行列式为0
逆序数
一个排列中逆序的总数（若逆序数为奇数则为奇排列，偶数则为偶排列）
排列
对换改变排列的奇偶性
正在n阶排列中奇、偶排列个数相等，各有n！/2
行列式展开
行列式等于某一行的元素分别与他们的代数余子式的乘积之和
在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和为0
常见的行列式种类
范德蒙行列式、克拉默法则
矩阵
1） 矩阵满足的运算
加法结合律、交换律、分配律；乘法结合律、分配律；消去律不成立。
2） 矩阵相等
只有完全一致的矩阵才叫做相等。
3） 矩阵加法：
同型矩阵(相同的行数、列数)对应元素相加。
4） 秩(A+B)<=秩(A)+秩(B) |AB|=|A| · |B|
乘积的秩不超过各因子的秩 秩(AB) <= min[秩(A)，秩(B)]
5） 数量矩阵
常数k乘矩阵A即为k乘以矩阵的每个元素，结果kA称为数量矩阵（一个n阶矩阵与
所有n阶矩阵做乘法是可交换的）数量矩阵的加法和乘法完全归结为数的加法和乘法。
6） 转置：
把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵成为A的转置，记为AT
7） 常用转置公式：
(AT)T = A、(A+B)T=AT+BT、(AB)T=BTAT、(kA)T=kAT
8） 如果|A|!=0,数域P上的n*n矩阵称为非退化(充要条件：秩等于n)，否则称为退化(矩
阵AB为退化的充要条件是A、B其中至少有一个是退化的)。
9）矩阵的逆：
如果存在B使得AB =BA=E，则称A是可逆的。 ( A⁻¹)T=(AT)⁻¹ (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
伴随矩阵：
由代数余子式组成的矩阵称为伴随矩阵。
求逆矩阵方法：
（一）伴随矩阵发法 A⁻¹=1/|A| × A*
（二）将原矩阵后接着写同行单位矩阵，将原矩阵变为单位矩阵后，后面的单
位矩阵变为对应矩阵的逆矩阵
（三）定义求法 设出一矩阵后与原矩阵相乘=单位矩阵，解出对应等式
10） 两个互相可逆的矩阵相乘=单位矩阵，他们对应的行列式相乘=1
11） 初等矩阵（其逆矩阵还是初等矩阵）:
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
12） 如果B可以有A经过一系列初（行/列）等变换得到，则矩阵B与A称为（行/列）等价的
