数字图像处理中一元函数f(x)的二阶导数=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)的由来

2023-11-16

在《为什么说数字图像的一阶微分为f(x+1)-f(x)?》介绍了数字图像处理中一元函数的一阶导数的由来。该一阶导数为:
在这里插入图片描述

在该书中,同时定义了一元函数f(x)其二阶导数的基本定义为:
在这里插入图片描述
关于这个推导其中有点点小技巧:式3.6-1也可以表述为:f’(x)=f(x)-f(x-1),因为Δx除了是正增量外,也可是负增量,此时Δx=-1:

df(x)=Δx*(f(x+Δx)-f(x))=-1*(f(x-1)-f(x))=f(x)-f(x-1)

理解了这点,老猿再来补充推导过程:

f"(x)=(f'(x))'=(f(x+1)-f(x))'=f'(x+1)-f'(x)=(f(x+1)-f(x))-(f(x)-f(x-1))=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)

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