CRC的基本原理详解

CRC(Cyclic Redundancy Check)被广泛用于数据通信过程中的差错检测，具有很强的

检错能力。本文详细介绍了CRC的基本原理，并且按照解释通行的查表算法的由来的思路介绍

了各种具体的实现方法。

1.差错检测

数据通信中，接收端需要检测在传输过程中是否发生差错，常用的技术有奇偶校验(Parity

Check)，校验和(Checksum)和CRC(Cyclic Redundancy Check)。它们都是发送端对消息按照

某种算法计算出校验码，然后将校验码和消息一起发送到接收端。接收端对接收到的消息按

照相同算法得出校验码，再与接收到的校验码比较，以判断接收到消息是否正确。

奇偶校验只需要1位校验码，其计算方法也很简单。以奇检验为例，发送端只需要对所有消息

位进行异或运算，得出的值如果是0，则校验码为1，否则为0。接收端可以对消息进行相同计

算，然后比较校验码。也可以对消息连同校验码一起计算，若值是0则有差错，否则校验通过。

通常说奇偶校验可以检测出1位差错，实际上它可以检测出任何奇数位差错。

校验和的思想也很简单，将传输的消息当成8位(或16/32位)整数的序列，将这些整数加起来

而得出校验码，该校验码也叫校验和。校验和被用在IP协议中，按照16位整数运算，而且其

MSB(Most Significant Bit)的进位被加到结果中。

显然，奇偶校验和校验和都有明显的不足。奇偶校验不能检测出偶数位差错。对于校验和，

如果整数序列中有两个整数出错，一个增加了一定的值，另一个减小了相同的值，这种差错

就检测不出来。

2.CRC算法的基本原理

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CRC算法的是以GF(2)(2元素伽罗瓦域)多项式算术为数学基础的，听起来很恐怖，但实际上它

的主要特点和运算规则是很好理解的。

GF(2)多项式中只有一个变量x，其系数也只有0和1，如：

    1*x^7 + 0*x^6 + 1*x^5 + 0*x^4 + 0*x^3 + 1*x^2 +1*x^1 + 1*x^0

即：

    x^7 + x^5 + x^2  + x + 1

(x^n表示x的n次幂)   

GF(2)多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减，模2就是加减时不考虑进位和借位，

即：

    0 + 0 = 0    0 - 0 = 0

    0 + 1 = 1    0 - 1 = 1

    1 + 0 = 1    1 - 0 = 1

    1 + 1 = 0    1 - 1 = 0

显然，加和减是一样的效果(故在GF(2)多项式中一般不出现"-"号)，都等同于异或运算。例

如P1 = x^3  + x^2 + 1，P2 = x^3  + x^1 + 1，P1 + P2为：

     x^3 + x^2 　　+ 1

  +x^3          + x + 1

    ------------------------------

             x^2 + x

GF(2)多项式乘法和一般多项式乘法基本一样，只是在各项相加的时候按模2算术进行，例如

P1 * P2为：

    (x^3 + x^2 + 1)(x^3 + x^1 + 1)

    = (x^6 + x^4 + x^3

     + x^5 + x^3 + x^2

     + x^3 + x + 1)

    = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

GF(2)多项式除法也和一般多项式除法基本一样，只是在各项相减的时候按模2算术进行，例

如P3 = x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x，P3 / P2为：

                                                        x^4 + x^3           + 1

                           --------------------------------------------------------------             

        x^3 + x + 1 )x^7 + x^6 + x^5 +             x^2 + x

                           x^7           + x^5 + x^4

                           -----------------------------------

                                    x^6           + x^4

                                    x^6           + x^4 + x^3

                           -------------------------------------------

                                                                 x^3 + x^2 + x

                                                                 x^3          + x + 1

                                                                ---------------------------

                                                                           x^2      + 1

                                                  

CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF(2)多项式M，比如对于8位消息11100110，如果先传输

MSB，则它对应的多项式为x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x。发送端和接收端约定一个次数为r的

GF(2)多项式G，称为生成多项式，比如x^3 + x + 1，r = 3。在消息后面加上r个0对应的多

项式为M'，显然有M' = Mx^r。用M'除以G将得到一个次数等于或小于r - 1的余数多项式R，

其对应的r位数值则为校验码。如下所示：

                                  

发送端将m位消息连同r位校验码(也就是M' + R)一起发送出去，接收端按同样的方法算出收

到的m位消息的校验码，再与收到的校验码比较。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生

成多项式，再判断余数是否为0。这是因为，M' + R = (QG + R) + R = QG，这里Q是商。显

然，它也可以像发送端一样，在全部m + r后再增加r个0，再除以生成多项式，如果没有差错

发生，余数仍然为0。

3.生成多项式的选择

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很明显，不同的生成多项式，其检错能力是不同的。如何选择一个好的生成多项式需要一定

的数学理论，这里只从一些侧面作些分析。显然，要使用r位校验码，生成多项式的次数应为

r。生成多项式应该包含项"1"，否则校验码的LSB(Least Significant Bit)将始终为0。如果

消息(包括校验码)T在传输过程中产生了差错，则接收端收到的消息可以表示为T + E。若E不

能被生成多项式G除尽，则该差错可以被检测出。考虑以下几种情况：

    1)1位差错，即E = x^n = 100...00，n >= 0。只要G至少有2位1，E就不能被G除尽。这

      是因为Gx^k相当于将G左移k位，对任意多项式Q，QG相当于将多个不同的G的左移相加。

      如果G至少有两位1，它的多个不同的左移相加结果至少有两位1。

    2)奇数位差错，只要G含有因子F = x + 1，E就不能被G除尽。这是因为QG = Q'F，由1)

      的分析，F的多个不同的左移相加结果1的位数必然是偶数。

    3)爆炸性差错，即E = (x^n + ... + 1)x^m = 1...100...00，n >= 1，m >= 0，显然只

      要G包含项"1"，且次数大于n，就不能除尽E。 

    4)2位差错，即E = (x^n + 1)x^m = 100...00100...00，n >= 0。设x^n + 1 = QG + R，

      则E = QGx^m + Rx^m，由3)可知E能被G除尽当且仅当R为0。因此只需分析x^n + 1，根

      据[3]，对于次数r，总存在一个生成多项式G，使得n最小为2^r - 1时，才能除尽x^n

      + 1。称该生成多项式是原始的(primitive)，它提供了在该次数上检测2位差错的最高

      能力，因为当n = 2^r - 1时，x^n + 1能被任何r次多项式除尽。[3]同时指出，原始

      生成多项式是不可约分的，但不可约分的的多项式并不一定是原始的，因此对于某些

      奇数位差错，原始生成多项式是检测不出来的。    

以下是一些标准的CRC算法的生成多项式：

16进制表示去掉了最高次项，CCITT在1993年改名为ITU-T。CRC12用于6位字节，其它用于8位

字节。CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信

协议。而以太网和FDDI则使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件压缩中。在这些生成多项式

中，CRC32是原始的，而其它3个都含有因子x + 1。

4.CRC算法的实现

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要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M = 11100110，G = 1011，

其系数r为3           

程序可以如下实现：

    1)将Mx^r的前r位放入一个长度为r的寄存器；

    2)如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)，

      再与G的后r位异或，否则仅将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)；

    3)重复第2步，直到M全部Mx^r移入寄存器；

    4)寄存器中的值则为校验码。                                       

 

用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021，其C代码(本文所有代码假定系统为32位，且都在VC6上

编译通过)如下：