如下图所示为逆变器的基础结构模型。
根据模型列写逆变器的数学模型如下：
{
U
a
−
L
d
i
a
d
t
−
i
a
R
−
e
a
=
0
U
b
−
L
d
i
b
d
t
−
i
b
R
−
e
b
=
0
U
c
−
L
d
i
c
d
t
−
i
c
R
−
e
c
=
0
\begin{cases}{} U_a-L\frac{di_a}{dt}-i_aR-e_a=0\\ U_b-L\frac{di_b}{dt}-i_bR-e_b=0\\ U_c-L\frac{di_c}{dt}-i_cR-e_c=0 \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧Ua−Ldtdia−iaR−ea=0Ub−Ldtdib−ibR−eb=0Uc−Ldtdic−icR−ec=0
具体原理这里不做推导，需要请参见其他资料。
[ U α U β ] = m × [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ U a U b U c ] \left[ \begin {matrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{matrix}\right] =m \times \left[ \begin {matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} \right] \left[ \begin {matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right] [UαUβ]=m×[10−2123 −21−23 ]⎣⎡UaUbUc⎦⎤
m的取值与系统需求有关；
{ m = 2 3 功 率 相 等 变 换 m = 2 3 幅 值 相 等 变 换 \begin {cases}{} m =\sqrt{\frac{2}{3}} &功率相等变换\\ m =\frac{2}{3} &幅值相等变换 \end{cases} {m=32 m=32功率相等变换幅值相等变换
在控制当中，我们常选择幅值不变算法作控制。
当 m = 2 3 m=\frac{2}{3} m=32相应地有逆变换:
[ U a U b U c ] = m × [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] [ U α U β ] \left[ \begin {matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix}\right]= m\times \left[ \begin {matrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} \right] \left[ \begin {matrix} U_\alpha\\ U_\beta\\ \end{matrix} \right] ⎣⎡UaUbUc⎦⎤=m×⎣⎢⎡1−21−21023 −23 ⎦⎥⎤[UαUβ]
[ U d U q ] = [ c o s φ s i n φ − s i n φ c o s φ ] [ U α U β ] \left[ \begin {matrix} U_d\\ U_q\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin {matrix} cos\varphi & sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{matrix} \right] \left[ \begin {matrix} U_\alpha\\ U_\beta\\ \end{matrix} \right] [UdUq]=[cosφ−sinφsinφcosφ][UαUβ]
相应的有逆变换为
[
U
α
U
β
]
=
[
c
o
s
φ
−
s
i
n
φ
s
i
n
φ
c
o
s
φ
]
[
U
d
U
q
]
\left[ \begin {matrix} U_\alpha\\ U_\beta\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin {matrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{matrix} \right] \left[ \begin {matrix} U_d\\ U_q\\ \end{matrix} \right]
[UαUβ]=[cosφsinφ−sinφcosφ][UdUq]
这里需要注意：
1.一般地，在逆变器的控制中将电网电压定向为d轴，因此变换公式中的角度为电网的相角。
2.根据dq与 α β \alpha\beta αβ坐标轴的相等位置不同，存在不同的变换形式，具体参照。似欧电气四种dq变换
[ U d U q ] = 2 3 [ c o s φ c o s ( φ − 2 3 π ) c o s ( φ + 2 3 π ) − s i n φ − s i n ( φ − 2 3 π ) − s i n ( φ + 2 3 π ) ] [ U a U b U c ] \left[ \begin {matrix} U_d\\ U_q\\ \end{matrix} \right] =\frac{2}{3} \left[ \begin {matrix} cos\varphi & cos(\varphi-\frac{2}{3}\pi) & cos(\varphi+\frac{2}{3}\pi) \\ -sin\varphi & -sin(\varphi-\frac{2}{3}\pi) & -sin(\varphi+\frac{2}{3}\pi) \end{matrix} \right] \left[ \begin {matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right] [UdUq]=32[cosφ−sinφcos(φ−32π)−sin(φ−32π)cos(φ+32π)−sin(φ+32π)]⎣⎡UaUbUc⎦⎤
将式（1）进行dq变换可得：
[
U
d
U
q
]
=
L
d
d
t
[
i
a
i
b
i
c
]
×
T
a
b
c
_
d
q
+
[
i
d
i
q
]
R
+
[
e
d
e
q
]
\left[ \begin {matrix} U_d\\ U_q\\ \end{matrix} \right] =L\frac{d}{dt} \left[ \begin {matrix} i_a \\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right]\times T_{abc\_dq} + \left[ \begin {matrix} i_d\\ i_q\\ \end{matrix} \right]R + \left[ \begin {matrix} e_d\\ e_q\\ \end{matrix} \right]
[UdUq]=Ldtd⎣⎡iaibic⎦⎤×Tabc_dq+[idiq]R+[edeq]
其中：
d
[
i
a
i
b
i
c
]
×
T
a
b
c
_
d
q
d
t
=
d
[
i
a
i
b
i
c
]
d
t
×
T
a
b
c
_
d
q
+
d
T
a
b
c
_
d
q
d
t
×
[
i
a
i
b
i
c
]
\frac{d\left[ \begin {matrix} i_a \\ i_b\\ i_c\end{matrix}\right]\times T_{abc\_dq}}{dt}= \frac{d\left[ \begin {matrix} i_a \\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right]}{dt}\times T_{abc\_dq} + \frac{dT_{abc\_dq}}{dt}\times \left[ \begin {matrix} i_a \\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right]
dtd⎣⎡iaibic⎦⎤×Tabc_dq=dtd⎣⎡iaibic⎦⎤×Tabc_dq+dtdTabc_dq×⎣⎡iaibic⎦⎤
其中
φ
=
ω
t
\varphi=\omega t
φ=ωt
d
T
a
b
c
_
d
q
d
t
=
ω
[
−
s
i
n
φ
−
s
i
n
(
φ
−
2
3
π
)
−
s
i
n
(
φ
+
2
3
π
)
−
c
o
s
φ
−
c
o
s
(
φ
−
2
3
π
)
−
c
o
s
(
φ
+
2
3
π
)
]
\frac{dT_{abc\_dq}}{dt}=\omega \left[ \begin {matrix} -sin\varphi & -sin(\varphi-\frac{2}{3}\pi) & -sin(\varphi+\frac{2}{3}\pi) \\ -cos\varphi & -cos(\varphi-\frac{2}{3}\pi) & -cos(\varphi+\frac{2}{3}\pi) \end{matrix} \right]
dtdTabc_dq=ω[−sinφ−cosφ−sin(φ−32π)−cos(φ−32π)−sin(φ+32π)−cos(φ+32π)]
所以：
d
T
a
b
c
_
d
q
d
t
×
[
i
a
i
b
i
c
]
=
ω
×
[
i
q
−
i
d
]
\frac{dT_{abc\_dq}}{dt}\times \left[ \begin {matrix} i_a \\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right]= \omega \times \left[ \begin {matrix} i_q \\ -i_d\\ \end{matrix} \right]
dtdTabc_dq×⎣⎡iaibic⎦⎤=ω×[iq−id]
代入原式得：
d [ i a i b i c ] d t × T a b c _ d q = d [ i d i q ] d t − ω × [ i q − i d ] \frac{d\left[ \begin {matrix} i_a \\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right]}{dt}\times T_{abc\_dq}= \frac{d\left[ \begin {matrix} i_d \\ i_q \\ \end{matrix} \right]}{dt}-\omega \times \left[ \begin {matrix} i_q \\ -i_d\\ \end{matrix} \right] dtd⎣⎡iaibic⎦⎤×Tabc_dq=dtd[idiq]−ω×[iq−id]
则并网逆变器数学模型为：
[
U
d
U
q
]
=
L
d
d
t
[
i
d
i
q
]
−
ω
L
×
[
i
q
−
i
d
]
+
[
i
d
i
q
]
R
+
[
e
d
e
q
]
\left[ \begin {matrix} U_d\\ U_q\\ \end{matrix} \right] =L\frac{d}{dt}\left[ \begin {matrix} i_d \\ i_q\\ \end{matrix} \right] -\omega L \times \left[ \begin {matrix} i_q \\ -i_d\\ \end{matrix} \right] + \left[ \begin {matrix} i_d\\ i_q\\ \end{matrix} \right]R + \left[ \begin {matrix} e_d\\ e_q\\ \end{matrix} \right]
[UdUq]=Ldtd[idiq]−ωL×[iq−id]+[idiq]R+[edeq]
即：
{
U
d
=
L
d
i
d
d
t
−
ω
L
i
q
+
R
i
d
+
e
d
U
q
=
L
d
i
q
d
t
+
ω
L
i
d
+
R
i
q
+
e
q
\left\{ \begin{matrix} U_d = L\frac{di_d}{dt}-\omega Li_q+Ri_d+e_d\\ U_q = L\frac{di_q}{dt}+\omega Li_d+Ri_q+e_q \end{matrix} \right.
{Ud=Ldtdid−ωLiq+Rid+edUq=Ldtdiq+ωLid+Riq+eq
进行拉普拉斯变换可得：
{
U
d
=
(
L
s
+
R
)
i
d
−
ω
L
i
q
+
e
d
U
q
=
(
L
s
+
R
)
i
q
+
ω
L
i
d
+
e
q
\left\{ \begin{matrix} U_d = (Ls+R)i_d-\omega Li_q+e_d\\ U_q = (Ls+R)i_q+\omega Li_d+e_q \end{matrix} \right.
{Ud=(Ls+R)id−ωLiq+edUq=(Ls+R)iq+ωLid+eq
根据逆变器模型可知，需要构建输入为Id*输出为Ud的PI控制环节。可实现对逆变器的解耦控制。（第一次修改处：这里引入解耦其实是为了消除扰动对系统的影响，比如电网电压、电流前馈等等，消除之后系统将变为简单的通过PI环节对系统进行校正。）
引入PI环节可得：
{
U
d
=
(
K
p
+
K
i
s
)
(
i
d
∗
−
i
d
)
−
ω
L
i
q
+
e
d
U
q
=
(
K
p
+
K
i
s
)
(
i
q
∗
−
i
q
)
+
ω
L
i
d
+
e
q
\left\{ \begin{matrix} U_d = (Kp+\frac{Ki}{s})(i_d^*-i_d)-\omega Li_q+e_d\\ U_q = (Kp+\frac{Ki}{s})(i_q^*-i_q)+\omega Li_d+e_q \end{matrix} \right.
{Ud=(Kp+sKi)(id∗−id)−ωLiq+edUq=(Kp+sKi)(iq∗−iq)+ωLid+eq
如下图所示为逆变器系统整体控制框图：
根据此方程便可以搭建PI电流闭环控制框图：
现行部分模型为电流控制中双向整流器模型，即电流定义为电网流向直流侧。此时的电路方程将发生变化，控制框图也将发生.此时控制模型为:
{
U
d
=
−
(
K
p
+
K
i
s
)
(
i
d
∗
−
i
d
)
+
ω
L
i
q
+
e
d
U
q
=
−
(
K
p
+
K
i
s
)
(
i
q
∗
−
i
q
)
−
ω
L
i
d
+
e
q
\left\{ \begin{matrix} U_d = -(Kp+\frac{Ki}{s})(i_d^*-i_d)+\omega Li_q+e_d\\ U_q = -(Kp+\frac{Ki}{s})(i_q^*-i_q)-\omega Li_d+e_q \end{matrix} \right.
{Ud=−(Kp+sKi)(id∗−id)+ωLiq+edUq=−(Kp+sKi)(iq∗−iq)−ωLid+eq
根据模型进行搭建对应电路即可.
根据相关参数,搭建仿真主电路:
仿真结果:
电流幅值给定波形:
输出电流波形:
输出功率波形
模型链接，有需自取：并网逆变器PI控制
