Matlab——回归分析

2023-11-16

基础知识

函数ones(a,b)产生a行b列全1数组，ones(a)产生a行a列全1数组。zeros()同理。
Y=y’, Y为y的转置矩阵。
函数size：获取数组的行数和列数
（1）s=size(A),当只有一个输出参数时，返回一个行向量，该行向量的第一个元素时数组的行数，第二个元素是数组的列数。
（2）[r,c]=size(A),当有两个输出参数时，size函数将数组的行数返回到第一个输出变量，将数组的列数返回到第二个输出变量。
（3）如果在size函数的输入参数中再添加一项，并用1或2为该项赋值，则size将返回数组的行数或列数。其中r=size(A,1)该语句返回的时数组A的行数， c=size(A,2) 该语句返回的时数组A的列数。
x(i,:)代表第i的所有元素.x(:,i)代表的是第i列的所有元素.x([i:k],:)则代表X的i到k行的所有元素.如果只想单独要第i行和第j行的元素,x([i,j],:)。

1. 一元线性回归

clc, clear all, close all
x=[23.80,27.60,31.60,32.40,33.70,34.90,43.20,52.80,63.80,73.40];
y=[41.4,51.8,61.70,67.90,68.70,77.50,95.90,137.40,155.0,175.0];
Y=y';
X=[ones(size(x,2),1),x'];
[b, bint, r, rint, s] = regress(Y, X)

注：
在以上回归程序中，使用了回归函数 regress。关于 regress，其用法多样，MATLAB 帮助中关于 regress 的用法，有以下几种：
b = regress(y,X)
[b,bint] = regress(y,X)
[b,bint,r] = regress(y,X)
[b,bint,r,rint] = regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X)
[…] = regress(y,X,alpha)
输入 y（因变量，列向量），X（1与自变量组成的矩阵）和（alpha，是显著性水平, 缺省时默认0.05）。
输出b是线性回归的系数（第一个是常数，第二个是一次项系数），bint 是 β0，β1 的置信区间，r 是残差（列向量），rint是残差的置信区间，s包含4个统计量：决定系数 R^2（相关系数为R），F 值，F(1,n-2) 分布大于 F 值的概率 p，剩余方差 s^2 的值。其意义和用法如下：R^2 的值越接近 1，变量的线性相关性越强，说明模型有效；如果满足
这里写图片描述

则认为变量y与x显著地有线性关系，其中 F1-α(1，n-2) 的值可查F分布表，或直接用 MATLAB 命令 finv(1-α,1, n-2) 计算得到；如果 p<α 表示线性模型可用。这三个值可以相互印证。s^2 的值主要用来比较模型是否有改进，其值越小说明模型精度越高。

简单来说，stats中的值，第一个值越接近1越好；第三个值越小越好，为0最好。

上面程序的输出为：


b =

  -23.5493
    2.7991


bint =

  -35.3165  -11.7822
    2.5350    3.0633


r =

   -1.6697
   -1.9064
   -3.2029
    0.7578
   -2.0810
    3.3600
   -1.4727
   13.1557
   -0.0346
   -6.9062


rint =

  -14.1095   10.7701
  -14.7237   10.9109
  -16.1305    9.7247
  -12.5148   14.0304
  -15.3118   11.1497
   -9.7162   16.4362
  -14.9630   12.0176
    7.2091   19.1024
  -11.9937   11.9245
  -14.7576    0.9453


s =

    0.9868  597.0543    0.0000   31.9768

2. 一元非线性回归

第一步，散点图画出来，观察是类似是什么模型。
第二步，matlab命令行输入 cftool，回车后打开曲线模拟工具箱。将数据填入x,y那里。
第三步，选择想要的曲线拟合函数。

· Custom Equations：用户自定义的函数类型
· Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
· Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
· Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
· Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
· Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
· Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
· Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
· Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
· Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
· Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)

选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；
——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
第四步，多次拟合选择个最好的出来。评判标准：

  SSE: 255.8
  R-square: 0.9868

这里SSE越小越贴近，不过因题而异不一定要特别小。第二个R-square越接近1越好。

第四步，得到你想要的回归方程。

3. 多元回归

这里是一个多元线性回归，应用下面代码之前，应该保证y与每一个x都大概成线性的关系（画散点图）。这里主要描述回归，以上不做赘述。

clear all 
close all
x1=[3.5 5.3 5.1 5.8 4.2 6.0 6.8 5.5 3.1 7.2 4.5 4.9 8.0 6.5 6.5 3.7 6.2 7.0 4.0 4.5 5.9 5.6 4.8 3.9];
x2=[9 20 18 33 31 13 25 30 5 47 25 11 23 35 39 21 7 40 35 23 33 27 34 15];
x3=[6.1 6.4 7.4 6.7 7.5 5.9 6.0 4.0 5.8 8.3 5.0 6.4 7.6 7.0 5.0 4.0 5.5 7.0 6.0 3.5 4.9 4.3 8.0 5.0];
Y=[33.2 40.3 38.7 46.8 41.4 37.5 39.0 40.7 30.1 52.9 38.2 31.8 43.3 44.1 42.5 33.6 34.2 48.0 38.0 35.9 40.4 36.8 45.2 35.1];
n=24; m=3;
X=[ones(n,1),x1',x2',x3'];
[b,bint,r,rint,s]=regress(Y',X,0.05)

这里把regress函数的第三个参数显著值也写出来了，不写的话默认也是0.05。


b =

   18.0157
    1.0817
    0.3212
    1.2835


bint =

   13.9052   22.1262
    0.3900    1.7733
    0.2440    0.3984
    0.6691    1.8979


r =

    0.6781
    1.9129
   -0.1119
    3.3114
   -0.7424
    1.2459
   -2.1022
    1.9650
   -0.3193
    1.3466
    0.8691
   -3.2637
   -0.5115
   -1.1733
   -1.4910
   -0.2972
    0.1702
    0.5799
   -3.2856
    1.1368
   -0.8864
   -1.4646
    0.8032
    1.6301


rint =

   -2.7017    4.0580
   -1.6203    5.4461
   -3.6190    3.3951
    0.0498    6.5729
   -4.0560    2.5712
   -2.1800    4.6717
   -5.4947    1.2902
   -1.3231    5.2531
   -3.5894    2.9507
   -1.7678    4.4609
   -2.7146    4.4529
   -6.4090   -0.1183
   -3.6088    2.5859
   -4.7040    2.3575
   -4.8249    1.8429
   -3.7129    3.1185
   -3.0504    3.3907
   -2.8855    4.0453
   -6.2644   -0.3067
   -2.1893    4.4630
   -4.4002    2.6273
   -4.8991    1.9699
   -2.4872    4.0937
   -1.8351    5.0954


s =

    0.9106   67.9195    0.0000    3.0719

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