两个重要极限定理推导

两个重要极限定理：
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 (1) \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1} x→0lim​xsinx​=1(1)
和
lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e (2) \lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \tag{2} x→∞lim​(1+x1​)x=e(2)

引理(夹逼定理)

定义一：

如果数列 { X n } \lbrace X_n \rbrace {Xn​}， { Y n } \lbrace Y_n \rbrace {Yn​} 及 { Z n } \lbrace Z_n \rbrace {Zn​} ，满足下列条件：

(1) 当 n > N 0 n > N_0 n>N0​ 时，其中 N 0 ∈ N ∗ N_0 \in N^* N0​∈N∗ ，有 Y n ≤ X n ≤ Z n Y_n \le X_n \le Z_n Yn​≤Xn​≤Zn​，

(2) { Y n } \lbrace Y_n\rbrace {Yn​}， { Z n } \lbrace Z_n \rbrace {Zn​} 有相同的极限 a a a，设 − ∞ < a < + ∞ - \infty < a < + \infty −∞<a<+∞，则，数列 { X n } \lbrace X_n \rbrace {Xn​} 的极限存在，且
lim ⁡ n → ∞ X n = a \lim_{n \rightarrow \infty} X_n = a n→∞lim​Xn​=a
定义二：

F ( x ) F(x) F(x) 与 G ( x ) G(x) G(x) 在 X 0 X_0 X0​ 连续且存在相同的极限 A A A，即 x → X 0 x \rightarrow X_0 x→X0​ 时， lim ⁡ F ( x ) = lim ⁡ G ( x ) = A \lim F(x) = \lim G(x) = A limF(x)=limG(x)=A，则

若有函数在 f ( x ) f(x) f(x) 在 X 0 X_0 X0​ 的某领域内恒有 F ( x ) ≤ f ( x ) ≤ G ( x ) F(x) \le f(x) \le G(x) F(x)≤f(x)≤G(x) ，则当 X X X 趋近 X 0 X_0 X0​， 有
lim ⁡ F ( x ) ≤ lim ⁡ f ( x ) ≤ l i m G ( x ) \lim F(x) \le \lim f(x) \le lim G(x) limF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即
A ≤ l i m f ( x ) ≤ A A \le lim f(x) \le A A≤limf(x)≤A
故
lim ⁡ ( X 0 ) = A \lim(X_0) = A lim(X0​)=A
简单地说：函数 A > B A>B A>B，函数 B > C B>C B>C，函数 A A A的极限是 X X X，函数 C C C 的极限也是 X X X ，那么函数 B B B 的极限就一定是 X X X，这个就是夹逼定理。

定理 1 证明：

如上图，对于弧 A C ⌢ \mathop{AC}\limits^{\frown} AC⌢ ，由于半径 1 1 1，所以，弧 A C ⌢ \mathop{AC}\limits^{\frown} AC⌢ 长 x x x。图片很直观地看出 sin ⁡ x ≤ x ≤ tan ⁡ x \sin x \le x \le \tan x sinx≤x≤tanx，并在 x → 0 x \rightarrow 0 x→0的时候，他们都"相等"。这个是几何直观的，如果我们假设化曲为直是可行的。

所以，

由上述公式，
sin ⁡ x ≤ x ≤ t a n x    ⟺    1 ≤ x sin ⁡ x ≤ tan ⁡ x sin ⁡ x    ⟺    1 ≤ x sin ⁡ x ≤ 1 cos ⁡ x \sin x \le x \le tan x \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{\tan x}{\sin x} \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x} sinx≤x≤tanx⟺1≤sinxx​≤sinxtanx​⟺1≤sinxx​≤cosx1​
由上式取倒数得：
cos ⁡ x ≤ sin ⁡ x x ≤ 1 \cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1 cosx≤xsinx​≤1
因为，
lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x = 1 \lim_{x \rightarrow 0} \cos x = 1 x→0lim​cosx=1
所以，
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 x→0lim​xsinx​=1
定理 1，得证。

定理2，证明：

首先，证明此极限存在；

构造数列
x n = ( 1 + 1 n ) n x_n = (1 + \frac{1}{n})^n xn​=(1+n1​)n
根据二项式定理，进行展开：
x n = C n 0 1 n ( 1 n ) 0 + C n 1 1 n − 1 ( 1 n ) 1 + C n 2 1 n − 2 ( 1 n ) 2 + ⋯ + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ 1 n ! 1 0 ( 1 n ) n = 1 + 1 + 1 2 ! ( 1 − 1 n ) + 1 3 ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) + ⋯ + 1 n ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) < 2 + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ 1 n ! < 2 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + ⋯ + 1 2 n − 1 = 3 − 1 2 n − 1 < 3 x_n = C_n^01^n(\frac{1}{n})^0 + C_n^11^{n-1}({\frac{1}{n}})^1 + C_n^21^{n-2}({\frac{1}{n}})^2 + \cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{n!}1^0(\frac{1}{n})^n \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) \\ < 2 + \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} + \cdots \frac{1}{n!} \\ < 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} = 3 - \frac{1}{2^{n-1}} < 3 xn​=Cn0​1n(n1​)0+Cn1​1n−1(n1​)1+Cn2​1n−2(n1​)2+⋯+n!n(n−1)(n−2)⋯1​10(n1​)n=1+1+2!1​(1−n1​)+3!1​(1−n1​)(1−n2​)+⋯+n!1​(1−n1​)(1−n2​)⋯(1−nn−1​)<2+2!1​+3!1​+⋯n!1​<2+21​+221​+231​+⋯+2n−11​=3−2n−11​<3
而对于
x n + 1 = ( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 = 2 + 1 2 ! ( 1 − 1 n ) + ⋯ + 1 n ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − n − 1 n ) + 1 ( n + 1 ) ! ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ) ⋯ ( 1 − n n + 1 ) x_{n+1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} \\ = 2 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) + \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots(1- \frac{n}{n+1}) xn+1​=(1+n+11​)n+1=2+2!1​(1−n1​)+⋯+n!1​(1−n1​)(1−n2​)⋯(1−nn−1​)+(n+1)!1​(1−n+11​)(1−n+12​))⋯(1−n+1n​)
所以
x n + 1 − x n = 1 ( n + 1 ) ! ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ) ⋯ ( 1 − n n + 1 ) > 0 x_{n+1}-x_n = \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots(1- \frac{n}{n+1}) > 0 xn+1​−xn​=(n+1)!1​(1−n+11​)(1−n+12​))⋯(1−n+1n​)>0
故，
x n + 1 > x n x_{n+1} > x_n xn+1​>xn​
该序列为单调递增序列，存在极限，记此极限为 e e e。

对于实数 x x x，则总存在整数 n n n，使得 n ≤ x ≤ n + 1 n \le x \le n+1 n≤x≤n+1，则有
( 1 + 1 n + 1 ) n < ( 1 + 1 x ) x < ( 1 + 1 n ) n + 1 (1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^x<(1+\frac{1}{n})^{n+1} (1+n+11​)n<(1+x1​)x<(1+n1​)n+1

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) 1 + 1 n + 1 = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) = e 1 = e \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n+1})^n = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})}{1 + \frac{1}{n+1}} = \frac{\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n+1})} = \frac{e}{1} = e n→∞lim​(1+n+11​)n=n→∞lim​1+n+11​(1+n+11​)​=limn→∞​(1+n+11​)limn→∞​(1+n+11​)n+1​=1e​=e

同理，
lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n + 1 = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) ( 1 + 1 n ) n = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e n→∞lim​(1+n1​)n+1=n→∞lim​(1+n1​)(1+n1​)n=n→∞lim​(1+n1​)n→∞lim​(1+n1​)n=e

故，根据夹逼定理，函数 f ( x ) = lim ⁡ n → ∞ f r a c ( 1 + 1 x ) x f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}frac(1 + \frac{1}{x})^x f(x)=limn→∞​frac(1+x1​)x 的极限存在，为 e e e。