数学建模（生物数学篇）之 MATLAB绘制解曲线的应用实例（2/3）

一、实验目的：

二、实验内容

例  著名的Lorenz模型的状态方程表示如下

其中，设。若令其初值为，为机器上可以识别的小常数，如选取一个很小的正数，试画图求解。

练习 （选做两个）

1、极限环是二阶非线性常微分方程中一种常见现象，对某些非线性微分方程来说，不论初始状态为何值，微分方程的相轨迹都将稳定在一条封闭的曲线上，该曲线称为微分方程的极限环。试取初值，绘制出微分方程

的极限环，并将plot函数换成comet函数，观察绘制动画式轨迹的过程。

2、Lotka-Volterra捕食模型方程为

初值为，绘制相应曲线。

3、画出《生物数学原理》50页图3.2.5中两种情况。

4、画出《生物数学原理》54、55页的三个图（按所给参数去验证）。

程序代码：

例1

f=@(t,x)[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];

 t_final=100;x0=[0;0;1e-10];

 [t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);plot(t,x),figure;

 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));

 axis([1 60 -20 20 -20 25]);

练习1.

f=@(t,x)[x(2)+x(1)*(1-x(1)^2-x(2)^2);-x(1)+x(2)*(1-x(1)^2-x(2)^2)];

t_final=100;x0=[0;1e-10];

[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);plot(t,x),figure;

 plot(x(:,1),x(:,2));

 axis([-1 1 -1 1])

练习3.

a=1

b=0.3

d=0.1

f=@(t,x)[x(1)*(1-x(1))-a*x(1)*x(2)/(x(1)+d);b*x(2)*(1-x(2)/x(1))]

t_final=100;x0=[3,3];

[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);plot(t,x),figure;

 plot(x(:,1),x(:,2));

 axis([0 1 0 1])

clear;clc

a=1

b=0.2

d=0.1

f=@(t,x)[x(1)*(1-x(1))-a*x(1)*x(2)/(x(1)+d);b*x(2)*(1-x(2)/x(1))]

t_final=100;x0=[3,3];

[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);plot(t,x),figure;

 plot(x(:,1),x(:,2));

 axis([0 1 0 1])

例1.

练习1.

练习3.

a =      1

b =    0.300000000000000

d =    0.100000000000000

f = 包含以下值的 function_handle:

    @(t,x)[x(1)*(1-x(1))-a*x(1)*x(2)/(x(1)+d);b*x(2)*(1-x(2)/x(1))]

a =      1

b =    0.200000000000000

d =    0.100000000000000

f = 包含以下值的 function_handle:

    @(t,x)[x(1)*(1-x(1))-a*x(1)*x(2)/(x(1)+d);b*x(2)*(1-x(2)/x(1))]

分析与讨论：

1. 生物学中的曲线图是把生物学问题进行数学模式化，并用图解形式阐述生物学事实、概念、原理和规律等。从曲线图的组成来看，其中应有自变量、因变量等相关变量，有时还包括第三变量;从整个过程来看，能反映出在一定的条件下所发生的生物学变化规律，它是一个连续的动态变化图。
2. 极限环是二阶非线性常微分方程中一种常见现象，对某些非线性微分方 程来说，不论初始状态为何值，微分方程的相轨迹都将稳定在一条封闭的曲线上， 该曲线称为微分方程的极限环
3. 对于例题的 Lorenz 模型，该方程为非线性微分方程，不存在解析解，只能用数值法求解。首先 先编写函数 f，其次调用 ode45( )函数进行数值求解并画图。 其中，t_final 为设定的仿真终止时间，x0 为初始状态。第一个绘图命令绘 制出系统各个状态和时间关系的二维曲线图，第二个绘图命令可以绘制出三个状 态的向空间曲线。 观 察 相 空 间 轨 迹 走 行 时 ， 可 将 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) 换 成 comet(x(:,1),x(:,2),x(:,3))。