因果推断 - 反事实

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参考书籍：《The Book of Why》——Judea Pearl

基础知识

定义：对于包含外生变量 U U U和内生变量 X X X和 Y Y Y的SCM，形如 Y X = x ( U = u ) = y Y_{X=x}(U=u)=y YX=x​(U=u)=y表示“在 U = u U=u U=u的情况下，如果 X = x X=x X=x，则 Y = y Y=y Y=y”。其中， Y X = x ( U = u ) = y Y_{X=x}(U=u)=y YX=x​(U=u)=y可以简写为 Y x ( u ) = y Y_x(u)=y Yx​(u)=y。

反事实分析的一般步骤：

1. 外展。基于数据对外生变量 U U U进行估算。
2. 干预。利用 d o do do算子改变模型（删除指向 X X X的箭头），得到新模型 M x M_x Mx​，反映我们提出的反事实假设。
3. 预测。基于 U U U和 M x M_x Mx​来计算结果。

以上三个步骤可以总结为：

因果推断第一定律： Y x ( u ) = Y M x ( u ) Y_x(u)=Y_{M_x}(u) Yx​(u)=YMx​​(u)

反事实和干预的区别：

1. 表现形式： d o （ x ） do（x） do（x） vs Y x Y_x Yx​
2. 对 X X X进行干预，不会对 X X X的子孙节点造成影响，而反事实会。

如何理解第2条？可以考虑如下因果图， P ( Y ∣ d o ( x ) ) P(Y|do(x)) P(Y∣do(x))和 P ( Y x ) P(Y_x) P(Yx​)的含义显然不同。

• 计算 P ( Y ∣ d o ( x ) ) P(Y|do(x)) P(Y∣do(x))时， Y Y Y的结果实际上和 X X X的取值毫无关系，因为路径被 Z Z Z阻断了！
• 计算 P ( Y x ) P(Y_x) P(Yx​)时，会根据 X = x X=x X=x对对应的 Z Z Z进行改动，进而得到 Y x Y_x Yx​。

案例实战

下面基于一个案例，加深对反事实分析的理解。
在下表中，学历共分为 0 , 1 , 2 0,1,2 0,1,2三种，分别代表高中，本科，研究生。 S 0 ( u ) S_0(u) S0​(u)表示雇员 u u u在学历是高中时，现有的工资水平， S 1 ( u ) S_1(u) S1​(u)和 S 2 ( u ) S_2(u) S2​(u)则是在本科和研究生学历下的工资水平。由于在工作时，每个人的学历已经固定，只会是高中、本科和研究生中的一种。故，对于每一个雇员，有两个工资的值为 ? ? ?，表示无法获得。

现在，我们想要研究一个反事实问题——如果Alice的学历是本科，那么她的工资应为多少？即：通过上表中的数据，估算 S 1 ( A l i c e ) S_1(Alice) S1​(Alice)。

在不使用反事实分析的情况下，我们或许可以采用线性回归，通过统计得到你和数据的最佳直线：

S = 2500 × E X + 5000 × E D + 65000 S=2500 \times EX + 5000 \times ED + 65000 S=2500×EX+5000×ED+65000

并依此得出 S 1 ( A l i c e ) = 2500 × 6 + 5000 × 1 + 65000 = 85000 S_1(Alice)=2500 \times 6 + 5000 \times 1 + 65000 = 85000 S1​(Alice)=2500×6+5000×1+65000=85000

但是，上述方法有一个明显的弊端，即：对于任何雇员，如果他们的工龄和学历一致，则预测出的工资也是一致的！通过观察Bob和Lucy的工资，我们可以发现，这显然是不对的！

从表中可以看出，Bob和Lucy具有相同的工龄，但Bob的学历更低。那么，假如Lucy的学历和Bob一致，二人的工资应该一致吗？答案显然是否定的。因为，如果Lucy降低了学历，那么理论上她的工龄会比Bob更长，这会导致 S 1 ( L u c y ) > S 1 ( B o b ) S_1(Lucy)>S_1(Bob) S1​(Lucy)>S1​(Bob)。

如何在模型中体现这一点呢？

从因果的角度出发，我们首先可以构建如下的因果图：

我们还是通过线性回归拟合最佳直线，但是和上文中稍有不同：

S = 2500 × E X + 5000 × E D + 65000 + U S S=2500 \times EX + 5000 \times ED + 65000 + U_S S=2500×EX+5000×ED+65000+US​

同时，我们还需要一个（可能是）下式的方程：

E X = 10 − 4 × E D + U E X EX=10-4 \times ED + U_{EX} EX=10−4×ED+UEX​

有了这两个方程后，我们就可以根据反事实分析的三个步骤，计算 S 1 ( A l i c e ) S_1(Alice) S1​(Alice)：

1. 根据数据估算出 U S = 1000 , U E X = − 1 U_S=1000, U_{EX} = -1 US​=1000,UEX​=−1;
2. 使用 d o do do算子修改Alice的学历；
3. 根据 U S = 1000 , U E X = − 1 U_S=1000, U_{EX} = -1 US​=1000,UEX​=−1计算出 E D = 2 ED=2 ED=2，再结合 E D = 1 ED=1 ED=1计算出 S 1 ( A l i c e ) = 76000 S_1(Alice)=76000 S1​(Alice)=76000。