线性分组码最小汉明距离_信息与编码系列（六）线性码~线性代数

目录

• 序
• 线性码的矩阵描述
• 线性码的等价性
• 线性码的最小距离
• 标准数组（Standard Array）&校验子解码（Syndrome Decoding）

序

这篇文章相当于做一篇“索引”，将线性代数的东西和线性码对应起来，方便日后出现问题能够快速查找。当然，也是《信息与编码理论》这个系列的最后一篇文章了。

该系列上一篇文章提及过三种线性码，重码、奇偶校验码还有Hamming码。这三种线性码可以作为例子，分别带入下面讨论，以便加深理解。我就不在文中体现了，书上也写得很清楚（主要我懒了。。。）~

线性码的矩阵描述

调用线性空间的定义，考虑域

上的线性空间（为有限域）。

码字符表可以与有限域中的元素一一对应。

对于任意有限维线性空间，考虑其子空间。该子空间的维度就是信息位

的个数。

子空间应该满足：任取其中向量，和仍旧在该子空间中。线性码也类似地满足这样的条件，以及线性空间中的基可以唯一地先行表示出空间中所有的向量。

我们学习过线性方程组，我们可以通过方程组，将不定元投射到新的空间中。 换做编码的范畴，称之为生成方程（generator equation），写为矩阵，则称之为生成矩阵（generator matrix）。从映射的角度来看，就是将“信息空间”投射到“码子空间”的一个映射。这样，每一个生成矩阵，都对应着一个线性码。生成矩阵是

的矩阵，行表示信息为所对应的方程。于是对于码

来说，有

.（这个矩阵怎么来的呢，将该子空间的基向量作为矩阵行向量，依次列出来即可）

对于特定的码子空间，那么必然还要满足某个特定的齐次线性方程。这个方程就叫做校验方程（parity-check equation），记为矩阵，则成为校验矩阵（parity-check matrix）。若

，且矩阵是

的校验矩阵，则应