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2.6 矩阵的初等变换

2023-11-13

初等变换：行、列

下面是三种初等行变换，列变换与行变换一样也是三种。
初等变换的本质是：对矩阵的变化
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只有当矩阵A为方阵时，初等变换才会和行列式产生联系
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定理

任何矩阵都能通过初等变换化为标准型
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化为标准型的处理过程为：
先处理第一列
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等价

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性质

反身性、对称性、传递性、任何矩阵都等价于一个标准型
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初等方阵

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有以下三种初等方阵
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初等方阵与初等变换的关系

初等变换表示的是对矩阵的变换，而初等方阵就是一个实实在在的矩阵

三种初等方阵的行列式、逆矩阵

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定理

左乘一个初等方阵相当于实施行变换，右乘一个初等方阵相当于实施列变换。
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初等矩阵的作用

初等矩阵可以将初等变换的“动作”(箭头表示)转换为一个等式“=”,数学喜欢用等式
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定理

任意矩阵A都可以通过左乘右乘初等矩阵化为标准型
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推论：A、B等价的充要条件是存在可逆矩阵P、Q使得 P A Q = B PAQ=B PAQ=B
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如果A可逆则A可以表示成数个初等矩阵相乘
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A可逆条件总结

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初等变换法求逆矩阵

初等行变换法(只做行变换)

对A和E同时做初等行变换，当A化成E时，E同时就化成了A逆
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如果矩阵行列式本来是0，对矩阵做初等行变换后，其行列式还是0，如果矩阵本来行列式为非零则初等行变换后还是非零

参考

以上图片均摘自宋浩老师视频，以方便以后自己查阅，感谢宋老师。
视频传送门

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