概率统计在计算机中的应用
一、综述 研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率统计，又称数理统计方法。 概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。 概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。 概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可 以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和1之间。 数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条 件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。 数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。 适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？ 就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。 统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。 应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。 2、 例题分析 例一： 假设你参加了一个游戏节目，现在要从三个密封的箱子中选择一个。其中两个箱子是空的，另一个箱子里面有大奖(你偶像的签名^^)。你并不知道奖在哪一个箱子里，但主持人知道。游戏节目的主持人先要你选择一个箱子，接着他把你没有选的空箱子打开，以证明它是空的。最后主持人给你换箱子的机会，你可以把你所选择的箱子换成另一个没有打开的箱子。此时你该不该换箱子？ 分析： 要相信直觉。你当然应该换箱子！我们把三个箱子编号A,B,C，并假设你选的是A箱。显然奖品在A里的概率是1/3，在B或C里的概率是2/3。B和C可能有一个是空的，也可能两个都是空的。因此，当你选择了A箱后，主持人很可能会打开B箱或C箱，以显示里面是空的。在这种情况下，主持人的举动并不会影响奖品在A箱里面的机会。我们假设主持人打开了B箱，以告诉你它是空的。现在A箱有奖品的概率还是1/3，B箱里面有奖品的概率是0，因此C箱里面有奖品的概率是2/3。在这种情况下，你应该换到C箱，因为它使你赢的机会提高了1倍！ 例二： 世界上每十万人中就有一人是艾滋病患者。艾滋病的检测目前已经很准确，但并非万无一失。它的检测准确率是99%，假设你刚去做完艾滋病检验，得到的了检测报告，结果…是阳性！你会绝望或昏倒吗？或者说，你会担心到什么程度？ 分析： 你大可不必那么担心，因为你几乎可以确定没有得艾滋病。什么？检测是阳性还几乎可以确定没有艾滋病？！是的，为了说明这一点，假设有100万人和你做了同样的检验。在这100万人中，得病的会有10个，没有得病的有999990个。当这些人接受检验时，9~10个人患有艾滋病的人会呈现阳性反应，另外999990个没有得病的人则会有1%出现错误的阳性反应，换算成人数大概是1万人。也就是说，大约10000个阳性诊断中，实际只有10个左右是真正患者。因此，绝大多数所呈阳性的反应都是误诊。当你得到阳性的检测结果时，真正得艾滋病的机会大概只有千分之一。(当然，如果你在检测之前很可能感染艾滋病的事，那就另当别论了) 例三： 一个国家人们只想要男孩，每个家庭都会一直要孩子，只到他们得到一个男孩。如果生的是女孩，他们就会再生一个。如果生了男孩，就不再生了。那么，这个国家里男女比例如何？ 分析： 一开始想当然的以为男多女少，毕竟都想要男孩。但是注意这句话“如果生了男孩，就不再生了”，一个家庭可能有多个女孩，只有一个男孩。再仔细分析，我们来计算期望值，只用计算一个家庭就行了。设一个家庭男孩个数的期望值为S1，女孩为S2.根据题目条件，男孩的个数期望值S1=1这个是不用计算了。主要计算S2 一个家庭的孩子数量可以为:1,2,3,4,5…对应的的男女分布为: “男”，“女男”,“女女男”,“女女女男”，“女女女女男”…对应的概率分布为1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32。其中女孩的个数分别为0,1,2,3,4……因此S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + ………可以按照题2用级数求，也可以用错位相减法：S2=1/4+2/8+3/16+4/32+…两边乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+ 两个式子相减得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1. 所以期望值都为1，男女比例是一样的。 例四： 一副扑克牌54张，现分成3等份每份18张，问大小王出现在同一份中的概率是多少？(大意如此) 解答1： 54张牌分成3等份，共有M=(C54取18)*(C36取18)*(C18取18)种分法。其中大小王在同一份的分法有N=(C3取1)*(C52取16)*(C36取18)*(C18取18)种。因此所求概率为P=N /M=17/53。 解答2： 不妨记三份为A、B、C份。大小王之一肯定在某一份中，不妨假定在A份中，概率为1/3。然后A份只有17张牌中可能含有另一张王，而B份、C份则各有18张牌可能含有另一张王，因此A份中含有另一张王的概率是17/(17+18+18)=17/53。也因此可知，A份中同时含有大小王的概率为1/3 * 17/53。题目问的是出现在同一份中的概率，因此所求概率是3*(1/3 * 17/53)=17/53。 例五： 有一苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛者吃到苹果的概率是多少？ 分析： 我首先想到的就是把第一次抛到正面的概率+ 第二次抛到的概率+ …+无穷多次，当然后面的概率几乎为0了。结果就是P = 1/2 + 1/8 + 1/32+ ……最后的结果就是P=2/3 . 这个计算也不难，其实就是等比数列，比为1/4。简单的无穷级数(1/2) / (1-1/4) = 2/3。1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+…(-1
