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矩阵论—凯莱-哈密顿定理

2023-11-11

 

凯莱-哈密顿定理内容

凯莱-哈密顿定理典型例题 

典型例题

        我们先来观察这个题目，题目要求A^{100}+2A^{50}，若直接将矩阵A 代入计算，则会非常复杂，因此，这条路是走不通的。
        我们试着引入我们今天介绍的凯莱-哈密顿定理来解这个题目。
令g(\lambda )=\lambda^{100}+2\lambda^{50}，我们要求A^{100}+2A^{50}，即求g(A )即可。
接下来我们确定矩阵A的特征多项式\phi (\lambda)
\phi (\lambda)=det(\lambda*I-A)=\begin{vmatrix} \lambda-1 &-1 & 1\\ -1& \lambda-1 & -1\\ 0& 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda & -\lambda& 2\\ -1& \lambda-1 &-1 \\ 0&1 &\lambda-2 \end{vmatrix}
=\lambda*(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} \lambda-1&-1 \\ 1& \lambda-2 \\ \end{vmatrix}+(-1)*(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} -\lambda &2 \\ 1& \lambda-2 \end{vmatrix}
=\lambda((\lambda-1)(\lambda-2)+1)+(-\lambda(\lambda-2)-2)
=\lambda(\lambda^{2}-3\lambda+3)-\lambda^{2}+2\lambda-2
=\lambda^{3}-4\lambda^{2}+5\lambda-2=\lambda^{3}-\lambda^{2}-3\lambda^{2}+5\lambda-2=\lambda^{2}(\lambda-1)-(3\lambda^{2}-5\lambda+2)
=\lambda^2(\lambda-1)-(\lambda-1)(3\lambda-2) =(\lambda-1)[\lambda^2-3\lambda+2]=(\lambda-1)^2(\lambda-2)

设g(\lambda )=\phi (\lambda)q(\lambda)+b_0+b_1\lambda+b_2\lambda^2，接下来确定系数b_0,b_1,b_2：


用\lambda=1,2分别带入上式，则有：
g(1 )=\phi (1)q(1)+b_0+b_11+b_21^2 =b_0+b_1+b_2=3                          (1)
g(2)=\phi (2)q(2)+b_0+b_12+b_22^2 =b_0+b_12+b_24=2^{100}+2^{51}      (2)
对g(\lambda )求关于\lambda的微分，则有：
g^{'}(\lambda ) = [2(\lambda-1)(\lambda-2)+(\lambda-1)^2]q(\lambda)+ \phi(\lambda)q^{'}(\lambda)+b_1+2b_2\lambda
将\lambda=1带入g^{'}(\lambda )，则有：
g^{'}(1)=b_1+2b_2=200                                                                                   (3)

联立(1)、(2)、(3)求解得出：
b_0=2^{100}+2^{51}-400
b_1=606-2^{101}-2^{52}
b_2=-203+2^{100}+2^{51}

于是有：
A^{100}+2A^{50}=g(A)=b_0I+b_1A+b_2A^2

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