拉普拉斯是一种二阶导数算子，是一个与方向无关的各向同性（旋转轴对称）边缘检测算子。若只关心边缘点的位置而不顾其周围的实际灰度差时，一般选择该算子进行检测。
拉普拉斯算子为二阶差分，其方向信息丢失，常产生双像素，对噪声有双倍加强作用，因此它很少直接用于边缘检测。一般是将高斯滤波和拉普拉斯边缘检测结合在一起，即log算子优化而成的-----先用高斯算子对图像进行平滑，然后采用拉普拉斯算子根据二阶微分过零点来检测图像边缘。
锐化处理的主要目的是突出图像中的细节或者增强被模糊了的细节，这种模糊不是由于错误操作，就是特殊图像获取方法的固有影响。图像锐化处理的方法多种多样，其也包括多种应用，从电子印像和医学成像到工业检测和军事系统的制导，等等。
在最后一节中，我们将看到在空间域用像素邻域平均法可以使图像变模糊。因为均值处理与积分相类似，从逻辑角度我们可以断定，锐化处理可以用空间微分来完成。在这一节中将讨论数字微分锐化的各种定义及其实现算子。总的来说，微分算子的响应强度与图像在该点(应用了算子)的突变程度有关。这样一来，图像微分增强了边缘和其他突变(如噪声)并削弱了灰度变化缓慢的区域。
在以下两节中，我们将分别讨论基于一阶和二阶微分的细节锐化滤波器。在讨论具体滤波器之前，还是先回顾一下数学中微分的某些基本性质。为了说明简单，主要集中讨论一阶微分的性质。我们最感兴趣的微分性质是恒定灰度区域(平坦段)、突变的开头与结尾(阶梯和斜坡突变)及沿着灰度级斜坡处的特性。这些类型的突变可以用来对图像中的噪声点、细线与边缘模型化。在向(从)这些图像特性过渡时的微分性质也很重要。
数学函数的微分可以用不同的术语定义，也有各种方法定义这些差别，然而，对于一阶微分的任何定义都必须保证以下几点：(1)在平坦段(灰度不变的区域)微分值为零；(2)在灰度阶梯或斜坡的起始点处微分值非零；(3)沿着斜坡面微分值非零。任何二阶微分的定义也类似：(1)在平坦区微分值必为零；(2)在灰度阶梯或斜坡的起始点处微分值非零；(3)沿着斜坡面微分值非零。因为我们处理的是数字量，其值是有限的，故最大灰度级的变化也是有限的，变化发生的最短距离是在两相邻像素之间。对于一元函数，f(x)表达一阶微分的定义是一个差值:
这里，为了与对二元图像函数f(x,y)求微分时的表达式保持一致，使用偏导数符号。对二元函数，我们将沿着两个空间轴处理偏微分。当前讨论的空间微分的应用并不影响我们试图完成的任何方法的本质。
类似地，用差分定义二阶微分：
很容易证实这两个定义满足前面所说的一阶、二阶微分的条件。为了解这一点，研究示于图3.38的例子，并强调一下在图像处理中一阶和二阶微分 间的相同及不同点。
图3.38(a)是一幅简单图像，其中包含各种实心物体、一条线及一个单一噪声点。图3.38(b)是沿着中心并包含噪声点的此图像的水平剖面图。这张剖面图是将要用以说明该图的一维函数。图3.38(c)示出的是简化的剖面图，在这张图中我们取了足够多的点以便于分析噪声点、线及物体边缘的一阶和二阶微分结果。在简化图中，斜坡的过渡包含四个像素，噪声点是一个单一像素，线有三个像素粗，而灰度阶梯的过渡变化在相邻像素之间发生。灰度级数目简化为只有8个等级。
从左向右横穿剖面图讨论一阶和二阶微分的性质。首先，我们注意到，沿着整个斜坡，一阶微分值都不是零，而经二阶微分后，非零值只出现在斜坡的起始处和终点处。因为在图像中，边缘类似这种类型的过渡，由此，我们得出结论，一阶微分产生较粗的边缘，而二阶微分则细得多。其次，我们来讨论孤立的噪声点。这里，在该噪声点及周围点上，二阶微分比一阶微分的响应要强很多，当然，这是我们所不希望的。在进行锐度变化增强的处理中，二阶微分比一阶微分更好，所以，可以预料在做细节增强处理时二阶微分比一阶微分强得多。细线可以看做一细节，基本可以看到两种微分处理后的同样的区别。如果这条细线的最大灰度值与孤立点相同，那么经二阶微分后的响应对于后者更强烈。最后，在本例中，灰度阶梯上的两种微分结果相同(在大部分情况下，不是从0过渡到阶梯时，二阶微分结果的灰度级更弱一些)。我们还注意到，二阶微分有一个过渡，即从正回到负。在一幅图像中，该现象表现为双线。这一双边缘效果在第10章中将作为一个重要问题讨论。这里，我们把微分用于边缘检测。另外，我们还注意到重要的一点，即如果细线的灰度与阶梯相同，那么对二阶微分处理的响应，细线要比阶梯强。
总之，通过比较一阶微分处理与二阶微分处理的响应，我们得出以下结论：(1)一阶微分处理通常会产生较宽的边缘；(2)二阶微分处理对细节有较强的响应，如细线和孤立点；(3)一阶微分处理一般对灰度阶梯有较强的响应；(4)二阶微分处理对灰度级阶梯变化产生双响应。我们还注意到，二阶微分在图像中灰度值变化相似时，对线的响应要比对阶梯强，且点比线响应强。
大多数应用中，对图像增强来说，二阶微分处理比一阶微分好一些，因为形成增强细节的能力好一些。由于这一原因及实现和扩展都简单，对图像增强我们开始注意应用二阶微分处理。一阶微分处理将在3.7.3节中讨论。尽管一阶微分在图像处理中主要用于边缘提取，但它们在图像增强中也起着很大作用。事实上，我们将在3.8节中与二阶微分结合起来应用以达到更好的增强效果。
在本节中，将详细介绍二元函数的二阶微分在图像增强处理中的应用。首先定义一个二阶微分的离散公式，然后构造一个基于此式的滤波器。我们最关注的是一种各向同性滤波器，这种滤波器的响应与滤波器作用的图像的突变方向无关。也就是说，各向同性滤波器是旋转不变的，即将原始图像旋转后进行滤波处理给出的结果与先对图像滤波，然后再旋转的结果相同。
处理方法
可以看出(Rosenfeld和Kak[1982])最简单的各向同性微分算子是拉普拉斯算子，一个二元图像函数f(x,y)的拉普拉斯变换定义为：
因为任意阶微分都是线性操作，所以拉普拉斯变换也是一个线性操作。
为了更适合于数字图像处理，这一方程需要表示为离散形式。通过邻域处理有多种方法定义离散变换，但无论怎样定义，都必须符合3.7.1节中提到的二阶微分处理的性质。在上一节中给出的数字二阶微分处理的定义是最常用的一种。考虑到有两个变量，因此，我们在x方向上对二阶偏微分采用下列定义：
类似地，在y方向上为：
式(3.7.1)中的二维拉普拉斯数字实现可由这两个分量相加得到：
这个公式可以用图3.39(a)所示的掩模来实现，它们给出了以90o旋转的各向同性的结果。实现机理在式(3.5.1)中给出，并在3.6.1节线性平 滑滤波器中已讲述过，我们在这里只是简单地使用了不同的系数。
对角线方向也可以加入到离散拉普拉斯变换的定义中.只需在式(3.7.4)中添入两项，即两个对角线方向各加一个。每一个新添加项的形式与式(3.7.2)或式(3.7.3)类似，只是其坐标轴的方向沿着对角线方向。由于每个对角线方向上的项还包含一个-2f(x,y)，所以，现在从不同方向的项上减去的总和是-8f(x,y)。执行这一新定义的掩模如图3.39(b)所示。这种掩模对45o增幅的结果是各向同性的。图3.39所示的另外两个掩模在实践中也经常使用。这两个掩模也是以拉普拉斯变换定义为基础的，只是其中的系数与我们在这里所用到的符号相反而已。正因如此，它们产生等效的结果，但是，当拉普拉斯滤渡后的图像与其他图像合并时(相加或相减)，则必须考虑符号上的差别。
由于拉普拉斯是一种微分算子，它的应用强调图像中灰度的突变及降低灰度慢变化的区域。这将产生一幅把图像中的浅灰色边线和突变点叠加到暗背景中的图像。将原始图像和拉普拉斯图像叠加在一起的简单方法可以保护拉普拉斯锐化处理的效果，同时又能复原背景信息。正如上一段中讲到的，记住所使用的拉普拉斯定义是很重要的。如果所使用的定义具有负的中心系数，那么，就必须将原始图像减去经拉普拉斯变换后的图像而不是加上它，从而得到锐化的结果。所以，我们使用拉普拉斯变换对图像增强的基本方法可表示为下式：
这一公式的应用在后面说明。
例3.11 用拉普拉斯的图像锐化
图3.40(a)显示了一幅月球北极的照片。图3.40(b)显示了用图3.39(b)中的拉普拉斯掩模对该图像滤波后的结果。由于拉普拉斯图像中既有正值又有负值，一个典型的标定方法是使用在3.41节中末尾讨论的方法。为了这一目的，有时会用到绝对值，但是，这的确是不正确的．因为，它会产生近似等于其大小的双线，使图像变模糊。
为了显示，图3.40(c)所示的图像用刚才描述的方法进行了标定。注意，这幅图像最突出的特点是边缘度各级灰度值突变处的锐化灰度级。前边谈到的接近黑色的背景由于标定，而呈灰色。这一呈现浅灰色的现象是典型的被适当标定的拉普拉斯图像。最后图3.40(d)显示了用式(3.7.5)处理得到的结果。该图像的细节比原始图像更加清晰。将原始图像加到拉普拉斯的处理结果中去就可以使图像中的 各灰度值得到复原，而且通过拉普拉斯变换增强了图像中灰度突变处的对比度。最终结果是使图像中小的细节部分得到增强并良好保留了图像的背景色调。基于拉普拉斯变换的图像增强已成为图像锐化处理的一个基本工具。
简化
在上一例中，我们首先计算拉普拉斯过滤图像，然后，从原始图像减掉该图像来实现式(3.7.5)。这样做是为了教学目的，以说明处理过程中每一步的作用。在实际运用中，式(3.7.5)通常用单一掩模的一次扫描来实现。单一掩模的系数很容易由式(3.7.5)中的第一行替代式(3.7.4)中的f(x,y)得到：
该式通过图3.41(a)所示的掩模来实现。如果对角线方向上的邻值也包含在拉普拉斯计算中，应该使用图3.4l(b)中所示的掩模。如果用式(3.7.5)中的第二行代替式(3.7.4)的负值，将会产生相同的掩模。
例3.12
经包含有对角分量的掩模进行处理得到的结果一般比用图3.41(a)那些更基本掩模处理的所得结果更为锐化。这种性质可以用图3.4l(d)和(e)所示的经拉普拉斯滤波处理的图像加以说明，其中图(d)与(e)分别是原始图像通过图3.41(a)与(b)中的格模处理的结果。通过将被处理的图像与原始图像3.41(c)进行比较，可以看出这两种掩模产生了有效的增强，但是，使用图3.41(b)掩模处理后的结果锐化得曼明显。图3.4l(c)是一幅烧坏的钨丝的扫描电子显微镜图像，放大了250倍.
反锐化掩蔽与高提升滤波处理
长期以来在出版业中使用的图像锐化处理是将图像模糊形式从原始图像中去除。这种处理被称为图像的反锐化掩蔽，可以表示为：
其中fs(x,y)表示经过反锐化掩蔽得到的锐化图像，是f(x,y)的模糊形式。反锐化掩蔽处理最早应用于摄影暗室中，将一张模糊的负片与相应的正片卷合在一起，然后，冲洗这一混合的胶片得到一张更为清晰的照片。
反锐化掩蔽进一步的普遍形式称为高提升滤波。在图像中任何一点(x,y)处，高提升滤波后的图像fbb可定义如下：
其中A≥1，与前式一样，是 的模糊形式，此式也可以写成：
结合式(3.7.7)，我们可以得到：
这一表达式可计算高提升滤波图像。
式(3.7.l0)在一般情况下都成立，但并不能说明锐化图像是怎么得到的。如果我们选择拉普拉斯变换，就可以知道fs(x,y)是通过式(3.7.5)得到的。在这种情况下，式(3.7.l0)变成：
高提升滤波处理可以通过任何一个图3.42所示的掩模得以实现。我们注意到，当A=1时，高提升滤波处理就是标准的拉普拉斯变换。随着A超过l不断增大，锐化处理的效果越来越不明显。最终，当A足够大时，高提升图像将近似等于经常数调制的图像。
例3．13用高提升滤波器增强图像
提升滤波的主要应用之一是输入图像太暗时的处理。通过使用不同的提升系数，通常可以使图像整体的平均灰度值增加，从而使最后结果提高图像的亮度。图3.43向我们展示了这一应用。图3.43(a)与图3.41(c)相比较暗。图3.43(b)是经过图3.42(b)中所示的拉普拉斯掩模处理的结果，其中A=0。图3.43(c)是经过图3.42(b)所示的拉普拉斯将模处理的结果，其中A=1。正如我们预料的那样，图像被锐化了。但结果仍然像原始图像那么暗。最后，图3.43(a)显示了用A=1.7处理的结果。这是一个更能接受的处理结果，其平均灰度增走了，因此图像看上去更亮、更自然了。
在图像处理中，一阶微分是通过梯度法来实现的。对于函数f(x,y)，在其坐标(x,y)上的梯度是通过一个二维列向量来定义的：
这个向量的模值由下式给出：
尽管梯度向量的分量本身是线性算子，但这一向量的模值显然不是线性的，这是由于用到了平方和开方运算。另外，式(3.7.l2)中的偏导数并非是旋转不变的(各向同性)，但梯度向量的模值却是各向同性的。尽管这样说在严格意义上并不正确，但我们一般把梯度矢量的模值称为梯度。为保持惯例，在以下的讨论中将使用这一术语，只有当它们两者会引起混淆时,才对向量和它的模值加以明确区分。
这个公式计算起来较为简单并且保持着灰度的相对变化，但各向同性特性通常就不存在了。然而，对于拉普拉斯变换的情况，下一段定义的数字梯度的各向同性性质只是对有限数量的旋转增量而言的，这主要取决于所用的近似微分处理的掩模。正如证明的那样，最流行的用于近似梯度处理的掩模仅对水平与垂直边缘给出相同的结果，而梯度处理的各向同性只对90°的倍数才能保持。这个结果与我们是使用式(3.7.13)还是式(3.7.14)没有什么关系，所以使用两个公式中较简单的算法对实际处理并没有什么影响。
与拉普拉斯情况一样，现在对上述公式定义数字近似方法，并由此得出合适的滤波掩模。为了便于讨沦，我们使用图3.44(a)中的符号来表示3×3区域的图像点。例如，若中心点z5表示f(x,y)，那么z1就代表f(x-l，y-1)，以此类推。正如3.7.1节中提到的，满足该节规定条件的一阶微分最简单的近似处理就是Gx=(z8-z5)和Gy=(z6-z5)。先前的数字图像处理中，由Robert[1965]提出的另两种定义使用了交叉差分算法：
如果我们选用式(3.7.13)，可以按如下所示计算梯度：
如果我们使用绝对值，并将式(3.7.15)代人式(3.7.l4)，就给出了梯度的近似算法：
这个公式可以通过图3.44(b)与(c)所示的两个掩模得以实现，这些掩模称为Robert交叉梯度算子.
偶数尺寸的掩模并不好用。我们感兴趣的是尺寸为3×3的最小滤波器掩模。还是在点z5使用绝对值并使用3×3掩模的近似结果为：
在3×3图像区域中，第三行与第一行间的差接近于x方向上的微分，同样，第三列与第一列间的差接近于y方向上的微分。图3.44(d)和(e)所示的处理掩模称为Sobel算子，它可通过式(3.5.1)的机理实现式(3.7.18)。使用权重2的思想是，通过突出中心点的作用而达到平滑的目的(这一点将在第10章中做详细介绍)。我们注意到，图3.44中所示的所有处理掩模中的系数总和为0，这表明灰度恒定区域的响应为0，正如微分算子的期望值那样。
例3．14用于边缘增强的梯度处理
梯度处理经常用于工业检刹、辅助人工检测缺陷，或者是更为通用的自动检测的预处理。我们将在第10章和第11章中对此做更多的介绍。为了解释梯度处理能用来突出图像中的小缺陷并能去除变化缓慢的背景特点，我们考虑一个例子。在这个特殊例子中,增强用于自动检测的预处理，而不是视觉分析。
图3.45(a)是一幅隐形眼镜的光学图像，显示了用所设计的光装置突出隐形眼镜的缺陷．例如，在隐形眼镜边缘类似时钟4点和5点处的两个边缘缺陷。图3.45(b)是原始图像用式(3.7.14)与图3.44(d)与(e)中的两个Sobel掩模处理得到的梯度图像。在该图像中,边缘缺陷清晰可见，但是，又增加了一个优点，即 灰度不变或变化缓慢的底纹部分被去除了．这样使得缺陷更为突出，且大大简化了自动检测的计算任务。还注意到，梯度处理突出了小斑点，而它们在灰度图像中是看不见的(像这样的小斑点可以是外来物、溶解过程中的气泡、隐形眼镜中的小缺陷)。在灰度平坦区域中增强小突变的能力是梯度处理的另外一项重要特性。
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